Замкнутость свойств функций  выбора

Отметим прежде всего следующее принципиальное различие между процедурами типа ВВ и УВ. В процедурах типа ВВ на «входе» и на «выходе» процедуры используются одни и те же объекты. На вход процедуры подается профиль индивидуальных выборов {Yi}, а на выходе возникает коллективный выбор Y*. Если ввести как-либо представление о том, как может быть описан «логичный», «разумный» или вообще чем-либо примечательный выбор (все равно индивидуальный или коллективный), то может быть естественным образом сформулирован вопрос о замкнутости этих свойств по отношению к процедуре голосования: если все индивидуальные решения Yi удовлетворяют некоторым требованиям «логичности», «разумности», то удовлетворяет ли этим же требованиям коллективный выбор Y*, который строится: исследуемой конкретной процедурой? Для того чтобы вопрос такого рода приобрел смысл, надо лишь уточнить и формализовать интуитивные понятия «логичный», «разумный» выбор. Именно это и будет сделано далее в этой главе.

Принципиально иначе обстоит дело с процедурами типа УВ. В этих процедурах на «вход» подается профиль индивидуальных упорядочений СР,-}, а на «выходе» возникает коллективный выбор, т. е. на «входе» и на «выходе» фигурируют объекты разной природы. В связи с этим уточнение и формализация понятий «логичные», «разумные» действия избирателей и процедуры не могут быть формализованы в одинаковых терминах. Так, например, для профилей {Pi} требование разумности можно формализовать различными условиями на бинарные отношения: транзитивность, ацикличность, полнота и т. д. Однако этот термины заведомо не применимы к результатам действия процедуры — коллективному решению, которое представляет собой уже не бинарное отношение, а конкретное множество выбранных вариантов Y*. Поэтому понятие замкнутости для процедур типа УВ в  значительно большей мере условно, и

зависит от определений, которые вводятся по-разному разными авторами1). В

этой

1)  В  литературе,  наряду  с  процедурами  типа  ВВ  и  УВ,  широко обсуждаются  процедуры  иного  типа,  которые  осуществляют не  выбор вариантов, а перерабатывает профиль индивидуальных упорядочений {Pi} в коллективное бинарное отношение Р*. В таких процедурах (процедурах типа УУ) на «входе» и на «выходе» рассматриваются объекты одного и того же типа

—наборы индивидуальных бинарных отношений и результирующее бинарное отношение,  и  для  таких  процедур  вводится  и  обсуждается  проблема замкнутости. При таком обсуждении широко используются понятия, связанные со свойствами бинарных отношений: транзитивность, ацикличность, связность и т. д. В этой книге процедуры такого рода не рассматриваются, так как для задач коллективного выбора они могут иметь лишь вспомогательное значение.

главе  мы  ограничиваемся  только  рассмотрением  условии  замкнутости  для процедур типа ВВ.

Ниже описываются различные способы формализации применительно к процедурам типа ВВ интуитивного понятия: «логичный», «разумный» выбор. Далее вводится с использованием этих понятий представление о замкнутости

для процедур типа ВВ.

В отличие от предыдущих глав, где рассматривался единичный акт принятия решения коллективом, в этом разделе окажется необходимым рассматривать выбор (и, соответственно, процедуры голосования) как «массовые» процедуры, сравнивая результаты действия процедур при различных предъявлениях X (при предъявлении избирателям различных списков вариантов в  избирательных  бюллетенях).  Для  дальнейшего  потребуются  поэтому

следующие обозначения.

Пусть фиксировано некоторое множество вариантов А, из которых могут формироваться предъявляемые для выбора множества Х ⊆А.

Так например, при выборе Совета трудового коллектива множеством А

служит весь состав трудового коллектива, а роль X могут играть различные подмножества из А — выдвинутые кандидаты.

Всюду далее предполагается, что множество А конечно, и что никакие ограничения на предъявляемое множество X ⊆ А заранее не накладываются, т. е. что любое непустое подмножество Х ⊆А может быть предъявлено избирателям. Как и ранее, Yi  ⊆ X обозначает индивидуальный выбор из X, осуществляемый iм избирателем, a Y*⊆  X — коллективный выбор из данного предъявления X.

При этом не исключаются случаи, в частности, когда как индивидуальный, так и

коллективный выбор может быть пустым.

6.3.1. Необходимые  понятия из  общей  теории  выбора  вариантов. В

процедурах голосования типа ВВ как на «входе» процедуры (индивидуальные выборы),  так  и  на  «выходе»  (коллективный  выбор)  фигурируют  множества

выбранных вариантов (Yi  ⊆ X и Y* ⊆  X),

Раньше чем перейти собственно к вопросу о замкнутости по отношению к

процедурам  этого  типа,  надо  ввести  и  пояснить  термины,  которые  будут использованы далее как для суждения о разумности поведения избирателя при

выборе вариантов, так и для суждения о логичности коллективного решения,

получаемого в результате голосования.

Для описания процесса выбора (индивидуального и коллективного) используются два подхода. Оба эти подхода в равной мере относятся как к изучению действий отдельных избирателей, так и к исследованию свойств коллективного решения. Мы поясним эти два подхода сначала па примере изучения действий избирателя, т. е. рассмотрим проблему индивидуального выбора.

Первый подход к изучению индивидуального выбора связан с понятием механизма выбора. Механизм выбора позволяет судить о том, каким образом избиратель  из  предъявленного  для  выбора  множества  вариантов  выделяет

подмножество лучших вариантов. Обычно механизм выбора лучших вариантов состоит из структуры о, заданной на множестве всех возможных вариантов А, и правила выбора Р, которое позволяет найти лучшие варианты, используя данную

структуру а. Например, структурой а на множестве вариантов может быть числовая ткала с оценками вариантов из множества А по этой шкале, ориентированный граф, вершинами которого являются варианты из множества

Л, матрица парных сравнений вариантов между собой и т. д. В качестве правила Р может выступать экстремизация (по числовой шкале), выбор недоминируемых вершин (по ориентированному графу), выбор вариантов с максимальной суммой

очков (по турнирной матрице) и т. д.

Приведем пример такого подхода, использующего понятие «механизм выбора». Пусть множество А состоит из четырех вариантов {х, у, z, v}. Пусть

один из избирателей имеет в качестве структуры о шкалу f на этом множестве вариантов со следующими числовыми значениями: f(x) = 3, f(у) = f(z) = 2, f(v) = l. В качестве правила Р, согласно которому избиратель определяет лучшие варианты, рассмотрим правило экстремизации (т. е, варианты с наибольшими

числовыми  оценками  являются  лучшими  для  избирателя).  Теперь,  имея структуру о и правило Р, мы знаем механизм выбора, согласно которому действует  данный  избиратель.  Например,  если  для  выбора  предъявлено

множество X = {y, z, v}, то этот избиратель в качестве лучших вариантов назовет варианты у  и  z  с  максимальными числовыми оценками по  шкале f.  Второй подход  к  изучению  индивидуального  выбора  основан  на  входо-выходном

описании процесса выбора. При таком подходе выбор лучших вариантов избирателем можно представить блоком, на вход которого подается множество

предъявляемых для выбора вариантов X ⊆ А,

138

а на выходе появляется подмножество выбранных вариантов Y ⊆ X (рис. 6.2).

Блок «Выбор» представляет собой как бы «черный ящик», внутреннего устройства которого (т. е. механизма выбора) мы не знаем, а можем наблюдать лишь результаты выбора и описывать свойства множества пар {(X, У)}. Для того чтобы можно было что-нибудь сказать о разумности поведения избирателя, используя этот входо-выходной подход, необходимо описать, что он выбирает в различных ситуациях, т. е. нужно знать его выбор из разных предъявлений—

множеств  Х  ⊆  А.  Таким образом,  входо-выходной  подход  предполагает

рассмотрение выбора вариантов как массовой процедуры.

Разницу в этих двух подходах можно проиллюстрировать такой аналогией. Рассмотрим тригонометрическую функцию у = sin х. Эту функцию мы можем понимать двояко. Во-первых, как заданный алгоритм, который по данному значению аргумента х строит значение функции у = sin х. При таком подходе мы задаем функцию sin x описывая, как получить значение функции по значению аргумента. Другой подход заключается в том, что мы можем проанализировать свойства функции sin x. Таблица, в левом столбце которой стоят значения аргумента х, а в правом столбце — соответствующие им значения функции sin х, представляет собой множество пар {(х, sin x)}. По такой таблице мы можем построить график функции у = sin х. Для описания этого графика существует набор терминов, таких, как периодичность, ограниченность, выпуклость, симметричность и т. д. Применив входо-выходной подход, мы можем описать свойства графика функции совершенно не интересуясь тем, какой алгоритм был использован для получения конкретных значений в таблице.

Аналогичным образом в проблеме выбора вариантов можно ввести не только  внутреннее  описание  процесса  выбора,  отвечающее  на  вопрос,  как

выделяются лучшие варианты из конкретного множества вариантов, предъявленных  для  выбора,  но  и  внешнее  описание  процесса  выбора,  т.  е.  как  бы

«график» процесса выбора, который понимается (как и в случае примера у = sin x)  как  таблица  «аргумент  —  значение  функции»,  и  приводит  к  «входовыходному» описанию процесса выбора.

Фундаментальным понятием в теории выбора является понятие «функция выбора». Определим его. Пусть задано множество вариантов А.  Для выбора

может быть предъявлено любое непустое подмножество Х ⊆  А. Акт выбора

состоит  в  выделении  из  этого  конкретного  множества  X  подмножества вариантов Y(Y ⊆  X). Предъявляя различные множества X, получаем различные

подмножества Y. Множество  пар {(X, Y)}  для  всевозможных

Таблица  6.1.  Функция выбора Сi(X)

предъявлений X ⊆  А называется функцией выбора, которая обозначается так: Y

= C(X).

Приведем пример функции выбора. Пусть множество А состоит из трех вариантов {х, у, z}. Наблюдая за выбором Yi совершаемым некоторым i-м избирателем из различных предъявлений X, составим таблицу 6.1. Эта таблица и представляет собой функцию выбора Сi(Х) данного i-го избирателя.

Таблица 6.2.  Числовая функция и функции выбора: аналогичность

у = sin х

Y = C(X).

Как находится

Разложение в ряд

Механизм выбора

Что находится

Таблица  «аргумент —

функция»

Множество  пар

«предъявленное множество —

выбранное  подмножество»

Наглядное представление

Кривая

Нет

Термины для описания:

входо-выходных свойств функции

Свойства числовых

функций: монотонность,

ограниченность,  периодичность и т. д.

Надо ввести

Следующая табл. 6.2 иллюстрирует аналогию между обычной числовой функцией (например, у = sin x) u функцией выбора Y = C(X).

В отличие от числовых функций, для описания свойств которых введено много  терминов,  для  функций  выбора,  имеющих  в  качестве  аргумента множества, а в качестве значения функции — их подмножества, ситуация не

столь наглядна. Для описания «графика» функции выбора необходимо ввести новые термины. В теории выбора эти термины вводятся так, что каждый из них в некотором смысле характеризует разумность (обоснованность, логичность) действий избирателя при выборе вариантов.

Рассмотрим наиболее употребительные характеристические свойства, которым может удовлетворять, а может и не удовлетворять конкретная функция выбора1).  Каждое  из  этих  характеристических  свойств  требует  от  функции выбора определенного «поведения» при некоторых специальных деформациях предъявленных для выбора множеств вариантов.

Простейшим характеристическим свойством является свойство сумматорности  (S).  Для  того  чтобы  функция  выбора  С(X)  удовлетворяла свойству сумматорности, она должна быть устроена так. Все множество вариантов А исходно разбито на две части— «хорошие» варианты Z и «плохие»

варианты  AZ.  Если  предъявление  Х  ⊆  А  захватывает  часть  «хороших» вариантов из множества Z (т. е. X ∩ Z ≠  ∅ ), то в выбор попадают все эти варианты, и только они, т. е. С (X) = X ∩ Z. Если же предъявление X не пересекается с множеством «хороших» вариантов (т. е. X ∩  Z ≠  ∅), то выбор пуст, т. е. С(Х) = ∅. Рис. 6.3 иллюстрирует свойство сумматорности. Здесь C(X1)

= X1∩ Z, C(X2) =∅ .

Более  сложным  является  свойство  константности  (К).  Рассмотрим

произвольное множество вариантов X и выбор  из  этого  множества  С (X).

Свойство  константности

1)  Обращаем  внимание  читателя  на  различие  между терминами

«характеристическое условие на процедуру голосования» (см. выше § 6.2) и вводимым здесь термином «характеристическое свойство функции выбора». Эти

два внешне сходных термина относятся к совершенно разным объектам: первый из них относится к процедуре голосования, перерабатывающей индивидуальные миопии  избирателей  в  коллективное  решение,  т.  е.  к  собственно  процедуре

голосования, а второй — к функции выбора как таковой, вне зависимости от того, является ли она внешним описанием действий избирателя или коллективного решения.

требует, чтобы выбор из любого подмножества Х’ множества X был в точности равен  пересечению множества X’  с  множеством С(Х),  если  это  пересечение

непусто (X’ ∩  С(Х)≠∅  ). Подчеркнем, что выполнение этого свойства должно проверяться для любых множеств X ⊆  А; при этом для каждого множества X

должны быть

рассмотрены все его подмножества, содержащие варианты из множества С(Х). Для тех подмножеств из X, которые не содержат вариантов из С(Х), какие-либо ограничения свойство К на выбор не накладывает. Так, например, на рис. 6.4

выбор из подмножества X’ ⊂ X удовлетворяет свойству К, а подмножество X" не требует проверки, так как X" ∩С(Х) ≠∅.

Свойство наследования  (Н)  требует, чтобы  вариант, выбранный из

множества X, выбирался бы из любого его

Рис. 6.4  Рис. 6.5

подмножества X’ ⊂  X, содержащего данный вариант. В отличие от свойства К,

свойство Н допускает, чтобы в выбор из подмножества X’ ⊂  X, содержащего

варианты из С(Х), попали не только эти варианты, но, может быть, какие-либо

иные  варианты из X’. Это  свойство  может

быть записано в форме

и проиллюстрировано рис. 6.5.

Свойство монотонности1) (М) функций выбора требует, чтобы выбор из любого  подмножества  данного  множества  был  сложен  в  выбор  из  этого

множества (рис. 6.6), т. е.

Свойство отбрасывания (О) требует, чтобы при любом X выбор из подмножества X’ ⊆  X, которое получается путем отбрасывания некоторых  или

всех  вариантов,

Рис. 6.6  Рис. 6.7

которые не попадают в выбор из X, был бы точно таким же, как и выбор из X.

Это свойство можно записать так:

Рис. 6.7 иллюстрирует свойство отбрасывания.

Свойство согласия (С) требует: в случае, если вариант х принадлежит выбору С(Х’) из множества X’ и выбору С(Х") из множества X", то этот вариант

х должен принадлежать и выбору из объединения этих множеств, т. е. х∈ C(X’ U

X"). Свойство согласия можно записать

1) Обратим внимание читателя па то, что введенное здесь свойство монотонности на функции выбора не связано как-либо с характеристическим условием монотонности на процедуры голосования, о котором шла речь выше в этой же главе (§ 6.2). Несмотря на одинаковость терминов, речь идет о разных объектах: здесь — о свойстве функций выбора, а ранее — о свойстве процедуры голосования, которое в случае процедур типа ВВ может порождать в качестве коллективного решения самые разные функции выбора,

в эквивалентной форме (см. рис. 6.8): C(X’) ∩ C(X") ⊆ C(X’ U X").

удовлетворяющих

некоторому

свойству,

изображена

кругом.

Вазимное

расположение этих

областей

Функции выбора, удовлетворяющие этим характеристическим свойствам, взаимно расположены я пространстве всех функции выбора  так, как это условно показано  на  рис.  6.9.  На  этом  рисунки  совокупность всех  функций  выбора,

Рис. 6.9

указывает на то, как взаимосвязаны те или иные свойства на функции выбора.

Оказывается, что:

1)  свойства Н,  С  и  О  независимы, т.  е.  существуют функции выбора,

которые удовлетворяют каждому из

них  или  любому  их  сочетанию,  а  также  функции  выбора,  которые  не удовлетворяют каждому из этих свойств и любому их сочетанию;

2) область,  соответствующая  свойству К,  расположена строго внутри пересечения  Н  ∩  С  ∩  О,  т.  е.  функции,  удовлетворяющие  свойству  К,  с

необходимостью удовлетворяют и свойствам Н, С и О, но существуют функции,

которые удовлетворяют свойствам Н, С и О, но не удовлетворяют К;

3) область, соответствующая свойству M, расположена строго  внутри области, соответствующей свойству С;

4) пересечение  областей1)  М и Н содержит  часть функций выбора,

удовлетворяющих свойству К,  а именно — все сумматорные функции S, и только их.

Удовлетворение или неудовлетворение некоторому из введенных свойств и  составляет  тот  набор  терминов,  в  которых  изучаются  свойства  входовыходного описания выбора, т. е. множества пар {(X, Y)}, Таким образом, при помощи этих свойств описываются как бы особенности «графика» функции выбора,  подобно  тому,  как  в  терминах  «выпуклость»,  «периодичность»,

«ограниченность» и т. д. можно описать график обычной числовой функции.

Естественно возникает вопрос о том, каким характеристическим свойствам удовлетворяют функции выбора, нарождаемые теми или иными механизмами выбора. Установлено, в частности, что функции выбора из области К, и только они, порождаются экстремизационным механизмом выбора по какому бы то ни было критерию или выбором недоминируемых вершин на бинарных отношениях

слабого порядка2); функции выбора из пересечения Н ∩  С ∩  О, и только они,

порождаются  механизмом  выбора  парето-оптимальных  вариантов  при

произвольном векторном критерии (некотором множестве несовпадающих критериев), либо же механизмом выбора недоминируемых вершин на бинарных отношениях  частичного  порядка3);  функции  выбора  из  пересечения  Н  С,  и только они, порождаются механизмом выбора недоминируемых вершин на бинарных отношениях общего вида.

1) Для удобства изложения здесь и далее области, соответствующие свойствам функций выбора, и сами свойства обозначаются одной и той же буквой.

2)  Тем самым устанавливается эквивалентность критериальноэкстремизационного выбора при любых критериях и выбора недоминируемых вершин на бинарных отношениях слабого порядка.

3)  Определения свойств бинарных отношений см. в  § 3.3.

145

До сих пор при входо-выходном описании процесса выбора речь шла об индивидуальном выборе Yi ⊆  X избирателя, изучаемом при помощи анализа его функция выбора Ci(X). Свойства коллективного выбора Y* ⊆ Х также изучаются

при помощи анализа коллективной функции выбора С* (X), для исследования

которой используются те же характеристические свойства, что и для индивидуальных функций выбора Ci(X) (свойства наследования (Н), согласия (С), отбрасывания (О) и т. д.).

Таким  образом,  в  процедурах  голосования  типа  ВВ  о  логичности поведения избирателей и разумности коллективного решения можно судить по тому, каким характеристическим свойствам удовлетворяют функции выбора, представляющие собой индивидуальные мнения избирателей и коллективное решение.

6.3.2. Замкнутость свойств  функций  выбора  относительно процедур типа ВВ. Вернемся теперь к вопросу о замкнутости свойств относительно процедур голосования типа ВВ. Будем говорить, что некоторая область  Д в пространстве функций выбора С замкнута относительно данной процедуры голосования, если при любых функциях выбора избирателей Сi(Х), принадлежащих этой области Д коллективная функция выбора С*(Х) также принадлежит этой области Д.

В качестве области Д в этом определении замкнутости может быть взята любая область, выделенная введенными выше свойствами Н, С, О и т. д., либо же их пересечением (рис. 6.9). Тогда требование замкнутости приобретает содержательный смысл: логика выбора, которой придерживается избиратель, должна сохраняться и для коллективного решения, если эта логика описывается в терминах введенных выше  характеристических  свойств.

Возникают две задачи, связанные с изучением проблем замкнутости процедур типа ВВ.

1) Известны свойства, которым удовлетворяют функции выбора Сi(X), представляющие индивидуальные мнения избирателей. Задана процедура голосования. Возникает вопрос:  удовлетворяет ли функция выбора С*(Х), которая  представляет  коллективное  решение,  тем  же свойствам, т. е.

замкнута ли область в пространстве функций выбора относительно данной процедуры?

2)  Задана  процедура  голосования.  Возникает  вопрос:  каким  свойствам

должны удовлетворять функции выбора Ci(X), представляющие индивидуальные мнения избирателей, чтобы полученная область в пространстве функций выбора была замкнутой относительно этой процедуры, т. е. чтобы функция выбора С* (X), представляющая коллективное решение, удовлетворяла этим же условиям.

Не существует стандартных алгоритмов, позволяющих в каждом конкретном случае получить ответ на эти вопросы. Каждый раз решение задач

подобного рода — предмет специального исследования, связанного с изучением конкретной процедуры голосования. Далее, в главе 7, будет приведено несколько примеров, когда ответы на вопросы подобного рода могут быть получены сравнительно просто.

 Материал взят из книги Голосование в малых группах: процедуры и методы сравнительного анализа (Вольский В.  И.,  Лезина  З. М.)