Ускорение сходимости рядов по полиномам гегенбауэра

А.Б. Нерсесян, А.А. Гаспарян

Институт математики НАН РА Российско — Армянский (Славянский) университет

В работе изучается задача ускорения сходимости разложений по ортогональным многочленам Гегенбауэра для случая, когда разлагаемая функция кусочно-непрерывна и известно только конечное число ее первых коэффициентов Фурье-Гегенбауера и точки разрывов. Описана схема предлагаемого алгоритма и приводится соответствующий программный пакет в коде МАТНЕМАТ1СА. Численные результаты характеризуют эффективность метода.

Ключевые слова: Ускорение сходимости, явление Гиббса, спектральные методы, ортогональные многочлены

применении аппроксимации Паде к асимптотическому ряду коэффициентов Фурье, а в работе [5] КЭ-метод (см. следующий абзац) был обобщен на случай разложения гладкой функции по системе собственных функций самосапряженных граничных задач для ОДЕ с гладкими коэффициентами на конечном отрезке. В работе [6] QP — метод был распространен на разложения по собственным функциям более общих (необязательно самосопряженных) задач для ОДЕ с гладкими коэффициентами, с регулярными граничными условиями, для случая кусочно-гладких разлагаемух функций. В работе [7] «ускорялись» разложения по системе Фурье-Бесселя, соответствующей известной граничной задаче для уравнения с сингулярными коэффициентами.

Общеизвестна важная прикладная роль разложений по системам классических ортогональных полиномов, которые также порождаются граничными задачами для ОДЕ с сингулярными коэффициентами. Известно также, что в точках нарушения гладкости разлагаемой по этим полиномам кусочно-гладкой функции возникает аналог явления Гиббса (характерного в случае разложений в классический ряд Фурье) вследствие чего сходимость соответствующего разложения медленная. В результате, при нарушении гладкости у разлагаемой функции, для достижения требуемий точности, возникает необходимость использования большого количества коэффициентов разложений, что зачастую затрудняет практические применения. В работе [9] была исследована задача ускорения сходимости рядов по ортогональной системе полиномов Лежандра {Рп(х)}, — 1 < х< 1, для кусочно-гладкой функции /(х), с известными точками скачков. Здесь была применена идея ускорения сходимости классического ряда Фурье по системе {ётх}, предложенная

А.Крыловым (см. [10]) и развитая К. Экгофом [11] (КЭ метод). При этом для ускорения сходимости были непосредственно использованы только скачки функции /(х), хотя предварительно вычислялись и скачки первых производных (для повышения точности приближенных значений скачков самой разлагаемой функции).

В данной работе используется сходная идея для ускорения сходимости разложений по более общей, ортогональной системе полиномов Гегенбауэра. По сравнению с [9], здесь эффективно используются и скачки производных разлагаемой функции, вследствие чего достигается заметно более высокая скорость сходимости. Как следствие, требуемый в приложениях порядок ошибки достигается при заметно меньшем количестве коэффициентов ФурьеГегенбауэра (и Лежандра, в частности).

Сначала приведем некоторые известные сведения, используемые нами в дальнейшем (см., например, [12]).

Полиномы Гегенбауэра

Классические ортогональные полиномы Гегенбауэра, обозначаемые СП( х), — 1 < х < 1, где П > 0 а X > —1/2 , ортогональны в весовом пространстве

4 [—1,1] , где весовая функция IV имеет вид Vх) = (1 — х2)П 1/2.

Полиномы {С^ (х)}, удовлетворяют дифференциальному уравнению

IСхп (х) = (1 — х2) Схп (х)" — (2П +1) хСп (х)» = — Хп Схп (х), Хп = п(п + 2X) (1)

Справедливы следующие формулы (| х|< 1 и || • |^ —1?№ — норма, [П/2] целая часть п )

С х( х) [^](— Г (Х)п— д (2 х)П—2п П ^=0 т!(п—2т)! ’

(1 — х2) СП; (х)’ = — пхС (х) + ( п + 2Х — 1)СП—1 (х) = (п + 2Х) хСП,( х) — (п + 1)СП+1( х) = 2Х(1 — х2 )СП—К х), 2(п+X)/С (х) ёх = СП+1 (х) — СП_! (х), СоП (х) = 1, К -|| СП(х) IV = ((п21—2ХГ(п + 2Х))/((п +Х)Г(п+1)Г(Х)2))1/2,

|С0П (х) (1 — х2)П—1/2 ёх = х 2 / (1/2,1/2 — Х;3/2; х2),

/СП (х)(1 — х2 )х—1’г ах = —(2 п(1 — х2 )“" с; ( х))/(п(п + 2Х)) (2)

В последней формуле предпологается, что П Ф —2П и П > 0.

Обозначим через Б(1)^ (х) частичную сумму разложения функции 1(х)

в 1?№ по полиномам Гегенбауэра.

N

Б((х) = Ж)"1 СС,П(х), IX = (ьх) —1( лспш (3)

п=0

где (и, V) скалярное произведение в весовом пространстве Пр.

Ряд по ортогональной системе полиномов Гегенбауэра сходится в весовом пространстве Ьр№ при X > 0, (2 X + 1)/(П +1) < р <(2 X + 1)/П (см. [12]). Ниже исследуется случай, когда функция 1 (х) и ее производная имеют лишь конечное количество точек разрывов {ак}, —1< ах< а2 < … < ат <1, т > 1 , а в остальных точках отрезка [—1,1] 1(х) , по меньшей мере, дважды дифференцируема.

Общая схема

3.1 Случай одной точки разрыва

Сначала предположим, что функция f:[-1,1] ^ C имеет только одну точку разрыва a1 , — 1 < a1 < 1 и f(x) е C2[-1,а1), f(x) е C2(a1,1] и, кроме того f (x) дважды дифференцируема в точке a1 слева и справа. Обозначим скачок функции f (x) в точке a1 через Д (Д = f (a1 + 0) f (a1 0)), а скачок ее первой производной через Д( Д = f ‘(a1 + 0) f'(a1 0)), где | Д |2 + | Д |2 ^ 0. Произведем интегрирование по частям в скалярном произведении (3), подставив в нем выражение C„ (x) из (1). В итоге получаем

n(n + 2 X) J1 f (x) CÄn (x) (1 x2)1-1/2 dx =

(1 a2)X+1/2 CX(a)’Д(1 a2)X+1/2 CXU) pCX (x) ((2X +1) (f (x) x(1 x2 )X-1/2)’ + (f (x) (1 x2 )X+1/2)") dx J1 CX(x)((2X +1)( f (x) x(1 x2 )X-1/2)’ + (f (x) (1 x2 )X+m)")dx (4)

Ja1

Отсюда следует (n Ф 0, n Ф -2X), что n = (hX)-1J i f (x) CX (x) (1 x2)1-1/2 dx = a1 (n, X) + a2 (n, X) + a3 (n, X), (5) где

a (n, x) = (hX)-1 n-1( n+2X)-1 д,(1 a2) X+1/2 cx &)’, a2 (n, X) = -(hX)-1 n-1 (n + 2X)-1Д (1 a12)X+1/2 CX &).

а a3 (n, X) соответствует интегралам в (4).

подпись: 0, x < a, w i 0, x < a,
> 1 , y1 (x, 81)= / ' > 1
1, x > a1 i x - a1, x > a1
Определим теперь следующие две функции

подпись: (6)Y 0( x, a1) =

Схема ускорения сходимости описывается следующими соотношениями

ад        ад        ад        ад

f (x) = 2 fXCXi. x) = I fXCX ( x) + д Yy°.CX( x) Д01^,0 CX( x) +

n=0      n=0      n=0      n=0

ад        ад        N

Д I^JCX (x) ДIXCX (x) = I( fX Ду ~X (x) +

n=0      n=0      n=0

А,¥1(х, я,) + Д¥0(х, я,)

подпись: (7)где С^(х) = (Лд) 1 Сд (х) ортонормализованный полином Гегенбауэра, а и // соответственно коэффициенты Фурье-Гегенбауэра функций ¥0(х, а,) и ^( х, а,).

Идея данной схемы ускорения, восходящая, как было указано выше, к А. Крылову [10], заключается в том, что, для восстановления значений функции / (х) , вместо медленно сходящегося усеченного ряда Фурье (3) используется

усеченный ряд для функции z(х) = /(х) А0¥0(х, а,) А¥1(х, а,) , которая, по меньшей мере, дважды дифференцируема на [-!Д] и поэтому обладает более быстро сходящимся разложением. Нетрудно видеть, что эффект от такого подхода тем заметней, чем большее количество коэффициентов

используется (т.е. N >> !).

Однако для того, чтобы мы могли использовать эту схему в случае, когда известны только точка скачка функции / и первые N ее коэффициентов ^ , нам необходимо вычислить скачок А) функции /(х) и скачок А ее производной. Следуя К.Экгофу [П], скачки А0 и А вычислим приближенно, отбросив в формуле (5) величину более высокого порядка (при достаточно больших п « N) а3 (п, X) и приравняв полученное к нулю при двух значенияь

п = п,, п2 , п, ^ п2. Задача, таким образом, сводится к решению линейной системы Р = Мх А, где

(8)

 

 

Явный вид коэффициентов функции ¥0(х, а,) в схеме (7) получается с использованием последних двух формул в (2), но для коэффициентов функции ¥1 (х, а,) мы пока не имеем явных формул, поэтому коэффициенты получаются путем численного интегрирования явного выда многочленов. Итак, имея первые N коэффициентов Фурье-Гегенбауэра и координату а, точки разрыва /(х), можно эффективно ускорить сходимость разложения функциии f (х) по ортонормализованной системе Гегенбауэра.

3.2 Случай нескольких точек разрыва

Предположим теперь, что кусочно-гладкая функция /(х) имеет т точек разрыва — 1< а1 < а2 < а3 <…< ат < 1 , т > 1. Тогда схема метода ускорения разложений по системе Гегенбауэра будет следующей.

 

 

подпись: г л01 ^
 ац
, а = 
 а0 т
 л
v 1т у
= 1,…, т-1 , п > 0 являются коэффициентами Фурье-Гегенбауэра функций

01 (х) и *и (х) соответственно. Необходимые приближенные значения величин А01 и 4 1 = 1,2,…, т являются решениями уравнения МА = Е, где

К1(а1)

о,П (^) .

. Р1( ат )

1

( ат ) »

РП2 (а1)

ЙДаЛ .

. Р2 ( ат )

0

2

( ат )

е

О

а(

0

V: пп 2т

4 (ат)

(а.)

О

Кт(ат)

0

(ат) ,

М:

^ =

Замечание 1. Чтобы данная задача была однозначно и устойчиво разрешима, необходимо, чтобы не только было Пе(М^ 0, но и чтобы число обусловлвнности матрицы М было не слишком велико. Теоретически мы пока не располагаем такой информацией, однако, как показывают проведенные нами (см. например, ниже пп. 4 и 5) многочисленные численные эксперименты, выбор щ = N, п2 = N — 1,…, п2т = N — 2т+1 вполне эффективен.

Замечание 2. В схеме, описанной, выше используются только величины скачков Л01 и , однако нетрудно убедиться, что ее можно обобщить, использовав и скачки производных высоких порядков л.. = /(Л(а + 0) — /(/)(а1 — 0) , У =1,2,…, т, j > 3. Соответственно, порядок матрицы М будет равен т/.

Численные результаты

В этом разделе приведятся результаты численных экспериментов для кусочно-гладких функций / (X) и /2 (X). Функция / (X) имеет одну точку разрыва ах = —л/5 а функция /2(X) две точки разрыва, соответственно

а1 = — 1/5, а2 = 1/3.

Г-1< х < — п/5, в 2 х 1ап(х + 3) [-л/5 < х <1, 2^(8іп( х) + 3)со8(3х), -1< х < — 1/5, 3х2

подпись: (12)/2(х) = <-1/5 < х<1/3, в2х 1/3 < х< 1, 8іп(х/2)

Обозначим через GegA0А1 алгоритм, который работает по указанной в разделе 3 схеме (используются скачки А0 и А1). Соответственно обозначим через GegA0 алгоритм, который работает по схеме, описанной в работе [9], в применении к случаю полиномов Гегенбауэра (вычисляются скачки А0 и А1, но используется только скачок А0). Ниже приводятся таблицы разложений функций А( х) и ?>( х) для 3-х различных значений параметра Гегенбауэра Я,

(Л = -1/3,1/2,25/3). В каждой таблице приводятся Lw ошибки и Lx ошибки при вычислении приближенных значений функций f1 (x) и f 2 ( x) , с использованием первых N коэффициентов Фурье-Гегенбауэра, в случаях обычного (“неускоренного”) разложения (алгоритм Classic) и с использованием алгоритмов GegAO и GegA0А1.

Таблицы ошибок Lw и Lx при восстановлении функции f1 (x).

Таблица 1. Для значения параметра Гегенбауэра Л = — 1/3

кол.

коэфф.-ов

Lw ошибки

Lx ошибки

Classic

GegA0

GegA0A1

Classic

GegA0

GegA0A1

N = 25

3.5 10-1

2.1 10-2

6.7 10-3

14 10-1

1.2 10-1

3.

5

05

2

N = 50

2.5 10-1

7. 10-3

1. 10-3

14 10-1

5. 10-2

8. 10-3

N = 100

1.7 10-1

2.4 10-3

1.6 10-4

13 10-1

2.5 10-2

1.5 10-3

N = 200

1.2 10-1

8.6 10-4

2.8 10-5

12 10-1

1. 10-2

4. 10-4

Таблица 2. Для значения параметра Гегенбауэра Л = 1/2 (полиномы Лежандра)

кол.

коэфф.-ов

Lw ошибки

Lx ошибки

Classic

GegA0

GegA0A1

Classic

GegA0

GegA0A1

N = 25

2.8 10-1

1.6 10-2

3.3 10-3

14 10-1

1. 10-1

2.5 10-2

N = 50

2. 10-1

5.6 10-3

5.5 10-4

14 10-1

4. 10-2

5. 10-3

N = 100

1.4 10-1

1.9 10-3

9.

4

0

5

13.5 10-1

2. 10-2

1.2 10-3

N = 200

1. 10-1

6.9 10-4

1.6 10-5

12.1 10-1

1. 10-2

3. 10-4

Таблица 3. Для значения параметра Гегенбауэра Л

= 25/3

кол.

коэфф.-ов

ошибки

w

Lx ошибки

Classic

GegA0

GegA0A1

Classic

GegA0

GegA0A1

N = 25

3.5 10-2

1.7 10-3

1. 10-3

14.5 10-1

1. 10-1

4. 10-2

N = 50

2.6 10-2

6.

5

О

4

2.1 10-4

14 10-1

4.7 10-2

8.5 10-3

N = 100

1.9 10-2

2.

5

О

4

4.3 10-5

14 10-1

2.3 10-2

2.5 10-3

N = 200

1.3 10-2

9.

2

О

5

8.

2

О

6

13.3 10-1

1.2 10-2

7. 10-4

Ниже приводятся таблицы для функции /2 (X), при тех же значениях параметра Л.

Таблицы ошибок и Ьх при восстановлении функции /2 (X).

Таблица 4. Для значения параметра Гегенбауэра Я = — 1/3

кол.

коэфф.-ов

ошибки

Ьх ошибки

С1а88к

GegA0

GegA0A1

С1а881е

GegA0

GegA0A1

ио

=

2.1 10-1

1.1 10-2

го

О

1

.2

1

8.3 10-1

г>о

О

1

5.

го

О

1

.3

6.

N = 50

1.5 10-1

го

О

1

2. 10-4

О

1

.2

8.

2.

6

С2

го

О

1

.6

1

N = 100

1. 10-1

го

О

1

.3

1

3.2 10-5

8. 10-1

1. 10-2

3.5 10-4

N = 200

7.6 10-2

4.8 10-4

5.4 10-6

8. 10-1

4.3 10-3

8. 10-5

Таблица 5. Для значения параметра Гегенбауэра Я = 1/2 (полиномы Лежандра)

в

. — о ол. ф.кф э

§

ошибки

Ьх ошибки

С1а881е

GegA0

GegA0A1

С1а88к

GegA0

GegA0A1

N = 25

2. 10-1

1. 10-2

7.8 10-4

9. 10-1

4.7 10-2

5.1 10-3

N = 50

1.4 10-1

3.7 10-3

1.2 10-4

8.5 10-1

2. 10-2

1.1 10-3

N = 100

1.1 10-1

1.2 10-3

2. 10-5

8.2 10-1

1. 10-2

2.3 10-4

N = 200

7.2 10-2

4.6 10-4

3.4 10-6

8. 10-1

4. 10-3

5.4 10-5

Таблица 6. Для значения параметра Гегенбауэра Я = 25/3

кол.

коэфф.-ов

ошибки

ошибки

С1а881е

GegA0

GegA0A1

С1а88к

GegA0

GegA0A1

N = 25

1.1 10-1

4.8 10-3

1.2 10-3

8.32 10-1

3.7 10-2

8. 10-3

N = 50

8.7 10-2

2.1 10-3

2.6 10-4

8.15 10-1

2.1 10-2

2.4 10-3

N = 100

6.4 10-2

8.6 10-4

5.4 10-5

8.01 10-1

1.2 10-2

6.1 10-4

N = 200

4.7 10-2

3.1 10-4

1. 10-5

8. 10-1

5.1 10-3

1.5 10-4

Из результатов таблиц, а также из результатов других численных экспериментов следует, что алгоритм GegA0 как минимум на один порядок уступает алгоритму GegA0A1 (при большом количестве коэффициентов на 2,3 порядка).

Замечание 3. Значение N (количество коэффициентов), при котором начинают «портиться» результаты (происходит накопление ошибок) зависит от точности вычисления, чем выше порядок точности, тем больше значение N. В наших примерах значение N удовлетворяет оценке N > 200, коэффициенты вычислены с точностью Шогк^Ргеазюп ^ 250.

Алгоритм ускорения

Алгоритм ускорения GegA0A1 для случая одной точки разрыва у f(x) приведен ниже в коде MATHEMATICA 7 (см. [13]) и готов к использованию. При нескольких точках разрыва, как это следует из п. 3, существенных проблем не возникает, но соответствующая программа принимает более громоздкий вид.

BeginPackage[" NumericalMattiGegAO A1"]; Begin["’ Private’" ];

(* В основном модуле используется вспомогательный модуль JumpsGTwo[Fn_, Fm_, n_, A_, ax_] , который имеет 5 аргументов. Первые

аргумента это коэффициенты Фурье-Гегенбауэра Fn_, Fm_, следующий аргумент индекс n_ младшего коэффициента Fn_, 4 — й аргумент параметр Гегенбауэра _ и, наконец, последный аргумент это точка разрыва a1_ . Функция возвращает 2-х мерный список, где первый элемент списка это скачок А0 функции, а второй элемент списка скачок A1 производной функции. Аналитические выражения скачков А0 и A были найдены решением уравнения (8). *)

JumpsGTwo[Fn_, Fm_,n_, A_, a1_] := Module[{d, c, q, c2}, d = C* (al)C^+1(aJ C/( a1)Cn+1( aj; c = (П2)1/2(1 a2)-1/2; q = (4-A Г( n + 2/1 + 1))1/2/((n + A + 1)Г(п + 2)r(A)2)1/2; c2 = (4-A r(n + 2 A))1/2/(( n+A )Г( n+1)Г(/ )2)1/2; c{( Fm(1 + n)(1 + n + 2 A )c1CA (a1) Fn( n + 2 A ) nc2 CA+1 (a1))/( Ad), 2(( Fm(1 + n)(1 + n + 2 A) q C^ (a1) Fn(n + 2 A)nc2 CA+1 (a1))/d}]

(* Модуль GegAO A1[cfl, jp_, A_, x_] принимает в качестве аргументов список коэффициентов Фурье cf_, точку разрыва функции jp_, параметр Гегенбауэра _ , а также независимую переменную x_ , которая используется в итоговой функции, возвращаемой модулем. В алгоритме модуля предварительно находятся скачки A0 и A1 . *)

GegAO A1[cf_, jp_, A_, x_] := Module[{Func, n, jps, A0, A1, pcf, fcf, fcfO, y, C, N, L}, If[! ListQ[cf]\Length[cf] <10,

Message GegA0 A1::"notlist", cf ];

^eturn[]; (* проверка списка коэффициентов *)

];

If [ Я <-1/2|| Я |<10-9,

Message GegA0 A1::» lambda", Я ];

ReturnW; (* проверка параметра Гегенбауэра: Я *)

];

If [! (-1< jP <1),

Message GegA0 A1::» jumppoint’, jp];

Return[]; (* проверка точки разрыва *)

];

C[N_, L_] := ((L + N)Г(L)2Г(N + 1))1/2/(n2x-2LГ(2L + N))1/2; n = Length[ cf ]; (* вычисление количества коэффициентов *) jps = JumpsGTwd[ Part[ cf, n — 1],

Part[cf,n],n2, Я, jp]; (* вычисление скачков Д и A *)

A0 = Part[ jps,1]; (* нужный скачок A0 *)

A = Part[ jps,2]; (* нужный скачок A *)

fcf0 = {C[0, Я](>/Пг(Я + 1/2)(2Г( Я +1)) jp 2F(1/2,1/2 Я;3/2; jp2))}; fcf = Table[2Я (1 jp2 )+1/2 C[i, Я ] Ci^^1 (jp)/(i(i + 2 Я)),{У,11 n-1}]; fcf = Join[ fcf 0, fcf ]; (* коэффициенты функции ¥0 *) pcf = Table[C[i, Я] Integrate yCf (y)(1 y2) Я-1/2,{у, jp,1}] jpPart[ fcf,i + 1],{i,0,n-1}]; (* коэффициенты функции Y1 *)

Func = SimplifyC^.’C j, Я]( Part[cf, j+1] A0 Part[ fcf, j+1] 4 Part[pcf, j+1]) Cj (y)] + A If [y < jp,0,1] + AIf [y < jp,0, yjp];

Func/. y ^ X (* Возвращаемая функция от переменной x *)

]

End []; EndPackage;

ЛИТЕРАТУРА

Gelb Anne. A Hybrid Approach to Spectral Reconstruction of Piecewise Smooth Functions, Journal of Scientific Computing. Vol. 15, №. 3, 2000. РР. 293-322.

Gottlieb D, Shu C.-W. On the Gibbs Phenomenon and its resolution, SIAM Rev., 1997. Vol. 39, №. 4. РР. 643-668.

Jae-Hun Jung, Sigal Gottlieb, Saeja Oh Kim, Chris L. Bresten, Daniel Higgs. Recovery of High Order Accuracy in Radial Basis Function Approximations of Discontinuous Problems, J Sci Comput, 2010, 45. РР. 359-381.

Нерсесян А.Б. Квазиполиномы типа Бернулли и ускорение сходимости рядов Фурье кусочно-гладких функций, Доклады НАН Армении, 2004. Т. 104, № 4. СС. 186-191.

Show J.K., Jonson L.W., Riess R.D. Accelerating convergence of eigenfunction expansions, Math. Comp., 30, 1976. PP. 469-477.

Нерсесян А.Б. Ускорение сходимости разложений по собственным функциям, Доклады НАН Армении, 2007. Т. 107, № 2. PP. 124-131.

Нерсесян А.Б. Ускорение сходимости рядов Фурье-Бесселя для кусочно-гладких функций, Доклады НАН Армении, 2005. Т. 105, № 2. PP. 28-35.

Faya Т.Н., Hendrik Kloppersb P. The Gibbs phenomenon for series of orthogonal polynomials, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology Volume 37, Issue 8, 2006, PP. 973-989.

Нерсесян А.Б., Гаспарян А А. Ускорение сходимости рядов по полиномам Лежандра, Доклады НАН Армении, 2011. Т. 111, №. 4.

Крылов А. О приближенных вычислениях.Лекции, читанные в 1906г., Типография Биркенфельда. СПб., 1907.

Eckhoff K.S. Accurate reconstructions of functions of finite regularity from truncated Fourier series expansions. Math. Comp. 64, № 210, 1995. PP. 671-690.

Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т.2. СМБ. М.: Наука, 1971.

Wolfram S. The Mathematica Book, Fourth edition, Wolfram Media, Cambridge University Press, 1999.

CONVERGENCE ACCELERATION FOR EXPANSIONS BY GEGENBAUER POLYNOMIALS A. Nersessian, A. Gasparyan

The problem of decomposition of convergence acceleration for series by Gegenbauer’s orthogonal polynomials is being discussed when the function is piecewise continuous and only Fourier-Gegenbauer coefficients and discontinuity points are known. The scheme of the proposed algorithm is described and the appropriate software package in MATHEMATICA code is given. Numerical results characterize the effectiveness of the method.

Keywords: Convergence acceleration, Gibbs phenomenon, spectral methods, orthogonal polynomials.

К СВЕДЕНИЮ АВТОРОВ

Правила для авторов журнала «Вестник РАУ, Физико-математические и естественные науки»

Журнал печатает оригинальные статьи по различным направлениям физико-математических и естественных наук.

К рассмотрению принимаются статьи на русском или английском языках.

Статьи должны быть представлены в жесткой и электронной форме.

К материалам статьи прилагается Договор с издательством РАУ, подписанный одним (ответственным) автором (оформляется в одном экземпляре).

Статья должна иметь направление от учреждения, в котором выполнена работа. Рукопись подписывается автором (соавторами) с указанием фамилии, имени, отчества, домашнего адреса, места работы, номеров телефонов и e-mail. Необходимо указать, с кем вести переговоры и переписку. Авторы могут предложить возможных рецензентов. Отклоненные статьи не возвращаются.

В редакцию направляются два экземпляра статьи, набранные шрифтом 12 пунктов через два интервала на одной стороне листа (приблизительно 30 строк на странице, 60 символов в строке). Поля с левой стороны должны быть не менее 4 см. Рукописные вставки не допускаются. Все страницы должны быть пронумерованы.

Перед текстом статьи указываются:

название статьи;

инициалы и фамилии авторов (для иностранных авторов на языке оригинала или на английском языке);

название учреждения (без сокращений и аббревиатур), которое направляет статью, его адрес (город, страна);

e-mail авторов.

Далее помещается аннотация объемом не более 0.5 машинописной страницы, которая не должна дублировать вводный или заключительный разделы. Аннотация не должна содержать литературных ссылок и аббревиатур. В конце аннотации указываются ключевые слова (keywords). Требуется также аннотация на английском языке.

Изложение материала должно быть ясным и кратким, без формул и выкладок промежуточного характера и громоздких математических выражений.

Рисунки представляются в двух экземплярах. Все надписи на рисунке следует давать на английском языке.

Формулы следует набирать крупно, свободно и четко.

Нумерация формул должна быть сквозной по всей статье (не по

разделам).

Химические формулы, математические символы, сокращения (в том числе в индексах), единицы измерения набираются прямым шрифтом.

Жирным шрифтом набираются только векторные величины (стрелка сверху не нужна).

Греческие, готические и «рукописные» буквы должны легко распознаваться.

Все остальные символы набираются курсивом.

Таблицы должны быть напечатаны на отдельных листах, включенных в общую нумерацию текста. Обязательно наличие заголовков и единиц измерения величин. Все столбцы таблицы должны быть озаглавлены.

Список литературы должен быть набран на английском языке и оформлен следующим образом:

для книг инициалы и фамилии всех авторов, название книги, издательство, место издания, год издания в круглых скобках, том;

для периодических изданий инициалы и фамилии всех авторов, название журнала, том, номера первой и последней страниц статьи, год издания в круглых скобках.

Нумерация ссылок должна соответствовать порядку их упоминания в тексте.

1.         Введение

В конце прошлого века были развиты различные методы, позволяющие «ускорять» сходимость некоторых разложений по ортогональным системам, представленным конечным числом их первых коэффициентов (см., например, [1]). В основном они касались «преодоления» явления Гиббса в случае классического ряда Фурье (или тригонометрической интерполяции), когда информация о разлагаемой кусочно-гладкой функции /(X), — 1 < X < 1 ограночивается заданием точек скачков и конечного числа ее коэффициентов Фурье { £п}, — N < п < N, (или дискретных коэффициентов Фурье). Отметим

здесь работы Д.Готтлиба с соавторами (см., например, [2]), использующие пересчет заданных коэффициентов разложений в терминах коэффициентов по системе ортогональных с весом (1 — X2)1’1/2, — 1 < X < 1, многочленов Гегенбауэра С1 (X), при 1« N, N >> 1.

Материал взят из журнала Вестник выпуск Физико-математические и естественные науки