Уравнение движения ТС

Вывод уравнения поступательного движения ТС основывается на замене ТС математической моделью, представляющей собой эквивалентную механическую систему материальных точек, совершающую поступательное движение. Материальные точки, составляющие ТС, находятся одновременно в поступательном и вращательном движении. На механическую систему действуют внешние и внутренние силы, сосредоточенные в центре масс ТС. Поскольку система совершает поступательное перемещение, можно принять, что модель ТС будет иметь одну степень свободы. Влияние возможных колебаний ТС при движении, обусловленных упругими свойствами подвески и шин, для получения наибольших значений показателей тягово-скоростной характеристики ТС в рассматриваемых случаях движения исключается.

Учитывая разнообразность дорожных условий, обуславливающих неустановившийся режим движения ТС, исходным уравнением для вывода общего уравнения движения ТС может служить уравнение Лагранжа 2-го рода:

d (∂T/∂q′)/dt ∂T/∂q + ∂П/∂q = Q,                                       (18) где Т – полная кинетическая энергия ТС; q обобщенная координата; П –потенциальная энергия системы; Q обобщенная сила; q′ = dq/dt.

Поскольку система совершает в каждый момент времени поступательное перемещение, то обобщенной координатой q является элементарное поступательное перемещение S центра масс системы.

Обобщенная сила Q определяется как разность между величинами сил (моментов), создающих движение ТС и сопротивляющихся этому движению ТС.

При движении по участку длиной S, имеющему подъемы и спуски

с продольным углом α, потенциальная энергия системы П =  gSsinα,

где знак плюс соответствует участку с подъемом, а минус – со спуском.

Изменение потенциальной энергии на участке S будет

∂П/∂q = ∂( mgSsinα)/∂S =  mgsinα.

Следует отметить, что выражение  mgsinα = Рi определяет силу сопротивления движению ТС на подъем и помогает движению на спуске. Поэтому целесообразно указанную силу перенести в правую часть уравнения (19), включив в число сил, влияющих на сопротивление движению ТС. Кинетическая энергия системы не зависит от координаты S, следовательно, в уравнении (19) выражение ∂T/∂q = 0.

Таким образом, исходным уравнением при выводе общего уравнения движения ТС будет уравнение Лагранжа 2-го рода в виде

d(∂T/∂q)/dt = Q1,       (181)

Поскольку основной энергией, обеспечивающей движение ТС, является энергия, развиваемая двигателем, то решение уравнения (181) целесообразно вести из условия передачи энергии от двигателя к движителям ТС. В этом случае за обобщенную координату принимается угол поворота коленчатого вала двигателя q = ϕd, а угловая скорость вала двигателя будет равна dϕd/dt = ωd.

Полная кинетическая энергия системы представлена следующими составляющими: кинетической энергией поступательного движения

ТС; кинетическими энергиями вращательного движения частей двигателя, трансмиссии и колес; кинетической энергией ТС при криволинейном движении в плане и движении по неровностям в профиле дороги.

Примечание. Учитывая малые скорости движения ТС при преодолении участков с уклонами и спусками в продольном профиле, имеющих небольшую кривизну, кинетической энергией движения

ТС по таким неровностям в профиле дороги можно пренебречь.

Кинетической энергией трансмиссии, состоящей из передачи со сравнительно небольшими инерционными массами, также пренебрегаем. Влияние трансмиссии на изменение энергии системы определяется введением КПД трансмиссии.

Следовательно,  полная  кинетическая  энергия  системы,  приведенная к коленчатому валу двигателя, будет

Т = mgV2/2η + Jdωd/2 + ∑JK(ω12 + ω22)/2η + JZωZ2/2η,            (19)

где m масса ТС; g ускорение свободного падения; V скорость поступательного движения ТС; η КПД трансмиссии; Jd  момент инерции вращающихся частей двигателя (маховика); ωd угловая скорость вращения коленчатого вала; ∑JK сумма моментов инерции колес ТС; (ω1, ω2  – соответственно угловые скорости вращения колес правого и левого бортов ТС; JZ момент инерции ТС относительно вертикальной оси Z; ωZ угловая скорость поворота относительно оси Z.

Для выражения переменных, входящих в формулу (19), через ωd  необходимо использовать зависимости: ωd = Vu/rK; ωZ = V/R = VK; (где rK  радиус качения; u общее передаточное число трансмиссии  u = u0ui; u0  передаточное число главной передачи; ui  передаточное  число коробки передач; R – радиус поворота ТС; K = 1/R – кривизна траектории движения), а также проанализировать поворот ТС относительно вертикальной оси Z. Принимая допущение о равенстве угловых скоростей колес каждого из бортов ТС, из плана скоростей при повороте ТС и выражения ωК = VК/rK  = ωd/u (где ωК – угловая скорость колеса; VК  – линейная скорость колеса); соответственно ω1 =V1/rK и ω2 = V2/rK; получим формулу для суммарной кинетической энергии в следующем виде:

2          2          2   2     2

2   2     2

Т = ωd2[(mgrK  /ηu

)+Jd+∑JK(1+0,25B K )/ηu

+JKrK K /ηu

]/2.       (20)

После определения частной производной от полной кинетической

энергии (20) по угловой скорости вала двигателя, с последующей заменой ωd на V (V = ωdrK/u) и дифференцированием полученного выражения по времени, левая часть уравнения Лагранжа (181) примет следующий вид

mdV[rK+Jdu2η/mrK  +∑JK(1+0,25B2K2)/mrK+JZrKK2/m]/ηudt+

+VKdK[(0,5B2∑JK/ηurK)+2JZrK/ηu]/dt.    (21) (При дифференцировании переменными величинами приняты V и K).

Правая часть уравнения Лагранжа – обобщенная сила. Обобщенная сила представляет собой разность момента на валу двигателя, затрачиваемого на изменение кинетической энергии, и суммарного момента сопротивления внешних сил на ведущих колесах ТС, приведенного к валу двигателя

Q = Мd – MK/ηu.       (22)

Подставим выражения (19) и (20) в уравнение Лагранжа (181) и умножим правую и левую части уравнения на (ηu/rd), что позволит перейти от баланса моментов на валу двигателя к силовому балансу ТС.

После некоторых преобразований получим дифференциальное уравнение общего случая движения в следующем виде:

mδ∑VdV/dt + dKKVJZ δZ/dt = PKO ∑PC,                                  (23) где = РКО = Мd(ηu/rd) – полная окружная сила на ведущих колесах (сила тяги); ∑PC = MK/rd – сумма сил сопротивления движению ТС; rd.динамический радиус колеса; δ∑V  коэффициент приращения  массы ТС при  вращательном и  криволинейном движении;  δZ   –  коэффициент приращения момента инерции ТС при криволинейном движении.

δ∑V = rK/rd + [Jdu2η + ∑JK(1+0,25B2K2)]/rKrdm + JZrKK2/mrd.          (24) δZ = 0,5В2∑JK/JZrKrd + 2rK/rd.                        (25) Выражение KVJZδZdK/dt = РКV       является инерцинной составляющей силы сопротивления движению, возникающей при криволинейном

переменном движении ТС в плане. Поэтому в дифференциальном уравнении общего случая движения ТС эту силу целесообразно рассматривать как составляющую силы сопротивления движению и перенести в правую часть уравнения (23).

При прямолинейном движении К = 0, и, принимая rK ≈ rd ≈ r, получим из уравнения (24) известное выражение коэффициента учета вращающихся масс автомобиля

δВР = 1+ (Jdu2η + ∑JK)/r2m (26)

Коэффициент δВР показывает, во сколько раз сила, необходимая для создания ускорения массам ТС, совершающим  поступательное

и  вращательное  движение,  больше  силы,  создающей  ускорение

только поступательно движущимся массам.

Для многоосных и многозвенных СТС выражение для δВР  можно записать еще и в следующем виде:

К

 

δВР = 1+  δВ1u2

+ δВ2

(261)

где δВ1  = 0,04mТ/mа; δВ2  = 0,04mТzКа/mаzКТ; mа, mТ  –  соответственно масса всего ТС и тягача; zКа, zКТ  – соответственно число колес всего ТС и тягача; uК – передаточное число коробки передач тягача.

Таким образом, для прямолинейного движения ТС общее дифференциальное уравнение (23) примет следующий вид:

mδВРdV/dt = PKO ∑PC,      (27)

Материал взят из книги Расчет тягово-скоростных свойств и топливной экономичности специальных транспортных средств (А.М. Петренко)