Темы, необходимые для решения задачи

1. Задание точки, прямой, плоскости.

2. Прямые плоскости.

3. Конкурирующие точки.

4. Способ прямоугольного треугольника.

5. Способ замены плоскостей проекций.

6. Способ вращения.

7. Способ совмещения.

8. Способ плоскопараллельного перемещения.

Принятые обозначения и сокращения

Плоскости проекций

π1  – горизонтальная,

π 2   – фронтальная,

π 3   – профильная

Оси проекций           ОХ, ОY, ОZ

Точки  А, В, С… или 1, 2, 3…

Прямые          АВ, СD… или a, b, c…

Плоскости      α , β  , λ , γ   …

Проекции на плоскость π1                                     А1, В1, С1… или 11, 21, 31… Проекции на плоскость π2                                     А2, В2, С2… или 12, 22, 32… Проекции на плоскость π3                                    А3, В3, С3… или 13, 23, 33… Горизонталь (проекции горизонтали)     H (h1, h2)

Фронталь (проекции фронтали)      F (f 1, f2)

Точка  тчк

Треугольник    ∆ Прямой угол        ┐ Натуральная величина    н.в. Прямоугольный треугольник

Совпадение   ≡ Равенство   =

Перпендикулярность            ⊥

Параллельность         ⁄⁄

Взаимная принадлежность  ∈

Логическое следствие          ⇒

Пересечение  ∩

Приблизительное      ≈

равенство

Задача:            Определить    натуральную  величину        треугольника,

задающего плоскость (рис.1).

Рис. 1.

Анализ задачи:

1. Плоскость, заданная треугольником АВС, относительно системы плоскостей проекций π1 π2 π3   занимает общее положение, поэтому ни одна из проекций не отображается в натуральную величину треугольника.

Рассмотрим решение данной задачи пятью способами.

Способ прямоугольного треугольника

Способ  прямоугольного треугольника  –  метрический  способ решения данной задачи.

Рис. 2.

План решения и построения:

Способом прямоугольного треугольника определим величину каждой стороны треугольника и построим его натуральный вид.

Построение:

1. Заключим фронтальную проекцию [С2В2] стороны  ∆    АВС

как гипотенузу в прямоугольный треугольник, вертикальный катет

которого равен | ZВZС |. Отложим этот катет под прямым углом к горизонтальной проекции [С1В1]. Гипотенуза [С*В1] треугольника

С*С1В1получается в  натуральную величину стороны  ∆    АВС        [СВ] (рис. 2, этап 1).

2. Аналогично находим натуральные величины сторон  ∆ АВС

-[ВА] и [СА] (рис.2, этап 1).

3. В произвольном положении отложим одну из сторон треугольника (в нашем случае [С*В*]), с помощью циркуля засечками найдем положение точки А*. Построенный треугольник

С*В*А* имеет действительный вид ∆   АВС (рис. 2, этап 2).

Алгоритм решения:

1. Способом   находим н.в. всех сторон ∆   АВС.

2. С помощью циркуля строим н.в. ∆  АВС ∆  С*В*А*.

Задачу можно решить по аналогии, если первоначально найти натуральные величины сторон ∆  АВС на плоскости проекций π2.

Способы         перемены       плоскости,     вращения,      совмещения,

перемещения – способы преобразования проекций.

Способ перемены (замены) плоскостей проекции

Положения:

При проецировании предмета на дополнительную плоскость проекций предмет не меняет своего положения в пространстве по отношению к плоскостям проекций, а исходная система основных плоскостей  проекций  дополняется  новыми,  дополнительными,

плоскостями проекций, которые выбираются так, чтобы получить

наиболее удобные виды дополнительных проекций.

План решения и построения:

1.  Введем  в  систему  плоскостей  проекций  π1    π2 дополнительную плоскость так, чтобы она была перпендикулярна одновременно и одной из плоскостей проекций и плоскости, заданной   треугольником,   тогда   последний   спроецируется   на новую  плоскость  отрезком  прямой  –  плоскость  треугольника станет проецирующей.

2. В новую систему плоскостей введем вторую дополнительную плоскость    так,    чтобы    она    была    параллельна    плоскости

 fs

Pnc. 3.

2.  Введем  в  систему  плоскостей  проекций  π1    π2 дополнительную плоскость π4 так, чтобы π4 была перпендикулярна к π1 и к ∆ АВС, тогда новая   ось Х1  пройдет перпендикулярно h1 (рис. 3, этап 1).

3. На эпюре на плоскости π4 находим проекции вершин треугольника А4, В4, С4. От оси Х1  откладываем для каждой точки координату Z, треугольник проецируется в прямую  А4С4В4 (рис.

3, этап 2).

4.   Введем   в систему плоскостей вторую дополнительную плоскость π5, которая параллельна ∆ А4В4С4 и перпендикулярна плоскости π4, ось Х2  пройдет параллельно  |  А4С4  В4| (рис. 3, этап

3).

5.  На плоскость π5  треугольник спроецируется в натуральную величину ∆ А5В5С5 (рис. 3, этап 3).

Алгоритм решения:

1. В ∆   АВС проводим H – h2, h1.

2. Систему π1π2 дополняем π4 (π4 ⊥  π1; π4 ⊥ ∆ АВС). Ось Х1 ⊥  h1.

3. От Х1 откладываем ZА, ZС, ZВ и получаем | А4С4 В4|.

4. Систему π1π4 дополняем π5 (π5 ⊥ π4; π5║ ∆ АВС).

Ось Х2 ║|А4С4В4|.

5. Проекция ∆ А5В5С5 – н.в.

Материал взят из книги Начертательная геометрия. Натуральная величина плоской фигуры (Маркова О.А.)