Способ вращения

Положения:

Вращением фигуры вокруг оси называется такое движение, при котором каждая точка фигуры перемещается по окружности, плоскость которой перпендикулярна к оси вращения, центр расположен  в  точке  пересечения  оси  вращения  с  плоскостью

вращения, а радиус равен расстоянию от точки до оси вращения.

Свойства вращения:

1) если вращать отрезок или плоскую фигуру вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций, то проекция на эту плоскость не меняется ни по виду, ни по величине – изменяется лишь положение;

2) все точки другой проекции перемещаются по прямым, параллельным оси проекций и перпендикулярным оси вращения, и проекция изменяется как по форме, так и по величине.

План решения и построения:

1.  Сделаем плоскость треугольника АВС  проецирующей, вращая  ее  вокруг  проецирующей  оси  i  (i1;  i2),  которую  для удобства построения выберем проходящей через одну из вершин треугольника.

2. Затем плоскость треугольника АВС повернем до плоскости уровня, чтобы определить его натуральную величину.

Построение:

1. Выбираем ось вращения i, которая перпендикулярна одной из плоскостей проекций, например π2, и проходит через вершину А

∆   АВС. (т. А, находясь на оси, при вращении ∆   АВС остается на

месте) (рис. 4, этап 1).

2. Через вершину А проводим линию уровня, в нашем случае фронталь F(f 1, f2) (рис. 4, этап 1).

3.  Фронталь вращаем до  проецирующего положения, т.е.  на

эпюре проекция        фронтали        f2         повернута      до        положения перпендикуляра к оси проекции Х (рис. 4, этап 1).

4. На базе новой проекции f2  строим с помощью засечек  ∆

А2В2С2          конгруэнтный  треугольнику  А2В2С2.  Горизонтальная проекция  ∆    АВС            спроецировалась отрезком прямой С1  А1В1

(рис.4, этап 1).

5. Выбираем вторую ось вращения i′ , перпендикулярную π1. I′

проходит через вершину треугольника А В С – В (рис. 4, этап 2).

6. Повернем горизонтальную  проекцию треугольника С1 А1В1

до параллельности с осью Х, получим новую проекцию | В1 А1С1 |.

Проекция ∆   А2 В2 С2       является натуральной величиной заданного

треугольника (рис.4, этап 2).

Рис. 4.

Алгоритм решения:

1. Проводим i ⊥ π2; А∈ i.

2. Проводим F ∈ ∆  АВС; А∈ F.

3. Вращаем f2   до ⊥ оси Х.

4. Засечками строим ∆  А2В2С2; F ⊥  π1  ⇒  ∆  АВС ⊥  π1 |С1А1В1|.

5. Проводим i′ ⊥ π1; В∈ i′ .

6. Повернем |С1А1В1| ║осиХ ⇒ | В1 А1С1|. Проекция ∆   А2 В2С2 –

н.в. ∆   АВС.

Задачу можно решить по аналогии, если начать с построения горизонтали Н и выбора первой оси вращения ⊥  π1 .

Положения:

Способ совмещения

Способом совмещения можно считать преобразование плоскости в плоскость уровня посредством вращения вокруг ее линии уровня.

Используя вращение вокруг линий уровня (включая и следы), можно преобразить плоскость общего положения в плоскость уровня лишь одним вращением (а не двумя, как, например, при вращении вокруг проецирующих прямых), что дает преимущество способу (при прочих равных условиях).

План решения и построения:

1. Совместим плоскость, заданную треугольником АВС, например, с положением горизонтальной плоскости, проходящей через горизонталь Н.

2. При вращении плоскости треугольника останутся неподвижными точки, лежащие на Н.

Построение:

1. В ∆   АВС через вершину А  проведем горизонталь H (h2, h1),

которая   будет   являться   осью   вращения.   Точка   А   останется

неподвижной (рис. 5, этап 1).

2.         Точки  С         и          В         будут  вращаться       в          плоскостях,

перпендикулярных   горизонтали   Н,        проведем        следы  этих плоскостей α1 ⊥  h1 и β1 ⊥  h1 (С∈ α, В∈β) (рис. 5, этап 1).

3. Плоскость β перпендикулярна оси вращения Н. Центр вращения О(О1, О2) определяется в пересечении оси вращения с плоскостью вращения: β ∩ Н = О (рис. 5, этап 1).

4. Натуральную величину    радиуса вращения ОВ (RВ) определяем  способом прямоугольного треугольника, отложив на перпендикуляре к В1О1 отрезок В*В1, равный разности высот точек

В  и  О  ∆ ZВО   = ZВ   –  ZА.  Гипотенуза В*О1   будет натуральной

величиной ОВ, которую отложим от О1  на горизонтальном следе

β1. Получим проекцию В1 повернутой точки В (рис. 5, этап 2).

5. Соединим проекцию В1  повернутой точки В с проекцией 11 неподвижной точки 1 и отметим точку пересечения этой линии с α1. Это будет проекция С1 повернутой точки С (положение С1 можно определить и аналогично  нахождению нового положения точки В  В1). Соединив А1В1С1, получим натуральную величину треугольника АВС (рис. 5, этап 2).

Алгоритм решения:

Рис.5.

1. Проводим Н ∆  АВС через А h2, h1.

2. Проводим следы плоскостей вращения: α1 и β1 ⊥  h1  С∈ α,

В∈ β.

3. β ⊥   Н=О. Определим н.в. радиуса вращения ОВ и найдем

новое положение тчк В – В1.

4. Найдем новое положение тчк С – В111∩ α1= С1.

5. ∆  А1В1С1 – искомая величина.

Задачу можно решить по аналогии, если совместить плоскость

∆   АВС с фронтальной плоскостью уровня, при этом начинают с

построения фронтали F.

Материал взят из книги Начертательная геометрия. Натуральная величина плоской фигуры (Маркова О.А.)