Сечения многократной ионизации

Дальнейшее рассмотрение будем проводить, следуя схеме описания [34] столкновений высокозарядных тяжёлых ионов со сложными атомами, успешно применённой [62, 88] для расчётов сечений многократной (до 18 кратности) ионизации атомов Ar и Ne высокозарядными ионами урана большой энергии. Будем считать, в системе покоя снаряда, электроны снаряда нерелятивистскими до и после столкновения, различимыми и каждому электрону приписывать одноэлектронную водородоподобную волновую функцию. Тогда волновые функции начального и конечного состояний иона можно записать в виде

Np

Ф0(Г1,…, TNp ) = Y[ Фг(г

г V іJ і

i=1

Np

ф/(г1,…, rNp )=П ^і(гі) •

i=1

Поэтому полная вероятность (Np — N )-кри піоіі ионизации нерелятивистского ^-электронного структурного иона, соответствующая попаданию Np — N N электронов в любое из состояний дискретного спектра, с учётом унитарности вероятности (3.6), будет иметь вид (ср. [62, 88]):

N , Np—N Np

W(Np—N)+(b) =  _N)!N, П П  (! — Pj(b)), (З’8)

(  p )!  !  i=1 j=Np—N+1

1JN / N —N ..) = 1 • лля N = 0; а одноэлектронный неупругий формфактор

Pi(b) = J d3ki j (ri)exp{—iXi(b, Гі)}Фі(Гі) |2, (3.9)

ki — импульс i-го электрона в континууме. Введём как в [62, 88]p(6) — среднее по оболочкам снаряда значение одноэлектронного неупругого форм-фактора, имеющее смысл средней вероятности ионизации одного электрона

p(b) = — Y хгЕ /А  d3r^k (r)exp{—iXi(b, г)}фпіт(г)  . (3.10)

n=1 l,m

Тогда, заменяя в (3.8) каждый одноэлектронный формфактор на среднее р(Ъ), получим

WNp+(b) = [p(b)]Np, W(Np—1)+(Ъ) = Np ([p(6)]Np—1 — [p(6)]Np) , Np — N

N ! N N!

w (np—N)+(b) =_Np_У (-i)m_N_ыъ)Np—N+m  (з и)

W (Ъ)  (Np — N)!N! m=o(  1)  (N — m)!m!{P(b)} ‘  1 j

где слагаемое, содержащее {p(b)}Np—N+m соответствует ионизации (Np — N + m) степени и в нем Ъ = bZ*Np—N+m , здесь ZNp—N+m эффективный заряд при (Np — N + т)-кратной ионизации.

Np N

роятность (3.11) проинтегрировать по всей плоскости параметра удара

/>оо

a(Np—N)+ = 2тг /  W(Np—N)+(b)bdb. (3.12) 0

P( Ъ)

ление этой функции, при большом числе электронов на оболочках иона (мы будем рассматривать, например, многократную ионизацию снаряда U10+ при столкновении с нейтральным атомом аргона или ксенона) представляется крайне затруднительным. Однако именно то обстоятельство, что мы в дальнейшем будем рассматривать ионизацию высокой кратности Np ^> 1, Np — N ^> 1, позволяет упростить задачу. Для этого воспользуемся методикой предложенной в работах [34, 62, 88]. Интеграл по параметру удара в формуле (3.12) с вероятностью (3.11) можно взять асимпP( Ъ) Ъ=0

рования: при столкновении с нейтральным атомом разумно считать вероятность ионизации максимальной при близком к нулю или равном нулю

P( Ъ)

стандартные [89] для применения метода Лапласа предположения. Сна

чала запишем [p(b)]N = exp[Nln(p(b)] = exp[Nf (Ъ)]. Тогда для N ^> 1, согласно [891,

1

FN

:з.із:

где r(x) — гамма-функция, и G. //. X F числа, определяемые поведением функций f (Ъ) и вблизи точки максимума Ъ0 : f (Ъ) — f (Ъ0) ~ F(Ъ — Ъ0)м , g(Ъ) ~ 0(Ъ — Ъ0)А—^ Причём согласно (3.12) функция g(Ъ) появляется при интегрировании по всей плоскости параметра удара и при Ъ0 = 0 равна g (Ъ) = Ъ, что соответствует G = Ъ0и Л = 1; в случае Ъ0 = 0 интегрирование в формуле (3.12) следует проводить по d^, соответственно = 1/2, G = 1/2 и Л = 1. В результате сечение полной .р-крапіоП ионизации снаряда

GTNp2?г  G  1 Л,

(ZNp)2м (м

1

МЪ>)]

Np ■з.ы;

( Np 1)

интегрируя методом Лапласа каждый член в отдельности получим сечение ( Np 1)

GT(Np —1)+ = NpGTNp+

ZNp 1

Np

1

Np

р(Ъ0

1

‘3.15^

( Np N)

(Np—N)+

Np !aNp(Np  N)! N!

X

N

X

( 1

ГУ*

ZNp

N!

m=0

N

ZNp—N+m

(N  m)! m!

X

Np

X

(Np — N + m)

{Р(Ъ0)}

-N+m ;з.іб)

где Z — N+m эффективный заряд при (Np — N + т)-кратной ионизации.

Полученные формулы (3.14), (3.15) и (3.16) позволяют в принципе вычислить сечения ионизации любой кратности (при условии Np ^> 1, (Np — N) ^> 1), или по известным из эксперимента каким-либо двум сечениям восстановить остальные. Следует отметить, что выбор пары сечений, считающихся известными из эксперимента может быть произвольным и определяется лишь условиями Np — N ^> 1 применимости формул (3.14),

(3.15) , (3.16). Результат именно такого расчёта для многократной ионизации ионов урана при столкновениях с атомами аргона приведён на рис. 3.1 и 3.2 совместно с экспериментальными данными [71, 86], при расчёте эффективный заряд принимался равным степени ионизации, т.е. Z:v = Q + N, Q — начальный заряд (заряд структурного иона до столкновения) снаряда. Величина Л/м считалась подбираемым параметром и для столкновений U28+ + Ar, мы выбрали Л/м = 1.1 и считали известными а12+ и <т15+; для U10+ + Ar Л/м = 1.5 и считали извест ными а10+ и <т12+.

Каждый рисунок состоит из двух частей (а) и (Ь): часть (а) представляет сечения в зависимости от числа удалённых электронов в широком интервале (полной области) от минимального значения — удаления одного электрона до максимально возможного значения числа удалённых электронов (например, в случае U10+ максимально возможное число удалённых электронов равно 82); часть (Ь) представлена для удобства сравнения расчёта с экспериментом и содержит значения сечений для которых имеются экспериментальные данные: поскольку широкий диапазон изменения величин, представленных в части (а) не позволяет корректно отобразить соответствующую относительно узкую область.

Как видно из рисунков, согласие результатов расчёта с экспериментами [71, 86] неплохое даже для ионизации малой кратности, формально лежащей вне границы (Np — N ^> 1) применимости формул (3.14), (3.15),

(3.16) . Для проведения расчётов ионизации малой кратности, строго говоря, следует использовать формулу (3.6).

40

оо

О Ü

101 100 It

10-1 г

0  2  4  6  8  10  12  14 16 Number of electron lost

Рис. 3.1. Сечение (10-18cm2) многократной потери электронов ионом U28+, движущимся с энергией 6.5 MeV/u, при столкновениях с атомом Ar в зависимости от числа удалённых электронов в полной области возможных значений числа удалённых электронов: от минимального значения 1 до максимального 64; треугольники экспериментальные данные [86], окружности результаты нашего расчёта.

41

В

О

I

О

100 г

10

0  2  4  6  8  10  12 14 Number of electron lost

Рис. 3.2. Сечение (10-16cm2) многократной потери электронов ионом U10+, движущимся с энергией 1.4 MeV/u, при столкновениях с атомом Ar в зависимости от числа удалённых электронов в полной области возможных значений числа удалённых электронов: от минимального значения 1 до максимального 82; треугольники экспериментальные данные [71], окружности результаты нашего расчёта.

42

…..I……^t,i I C^jT^C^j

Материал взят из дессиртации Многократные процессы при столкновениях ионов с атомами и молекулами (С.В. Рябченко)