Решение дифференциального уравнения движения ТС

Скоростная характеристика при разгоне и «выбеге». Скоростная характеристика при разгоне представляет собой зависимость скорости от пути и времени разгона ТС с места (см. рис.4).

Разгон производится с низшей передачи, при полной подаче топлива и переключении передач при номинальной частоте вращения вала двигателя до наибольшей скорости.

Для ряда конструкций СТС необходимо оценить величину сопротивления движению при отключенном двигателе. Такая характеристика определяется «выбегом» ТС (см. рис.4). Режим «выбега» осуществляется путем быстрого отключения двигателя (выключения передачи) после достижения максимальной скорости ТС. Делитель в коробке передач при разгоне не используется. Характеристика разгона и выбега рассчитывается для условий движения ТС по прямолинейному участку горизонтальной дороги (α = 0) с твердым искусственным покрытием.

Определить  характеристику  разгона  СТС  на  любом  подъеме можно по зависимости (39) с учетом формул, использованных при выводе этого уравнения

maδΣVdV/dt = aiV2 + biV + ci,

где аi = [(103NmaxηTrKc/V3

r ) + K

F]; b

= 103N

η r b/V2   r ;

Ni d     В         i

max   T K

Ni d

ci = (103NmaxηTrKa/VNird) mag(fcosα  sinα);

а, b, с – коэффициенты, постоянные для данного типа двигателя, соответствующие уравнениям (29 или 30); VNi = 0,105ωNirK/UT – номинальная скорость, соответствующая данной i-й передаче.

Тягово-скоростная характеристика при разгоне на горизонтальной

дороге (α =0 и К = 1/R = 0) определяется по уравнению (39) с коэффициентами ai = Аi – KВF; bi = Bi; ci = Ci magf; и δΣV = δВР.

Разделяя переменные и интегрируя от VHi  до VKi, соответствующих каждой передаче, получим

τi = maδВР∫V dV/(aiV2+biV+ci ).     (43)

Учитывая, что полученный интеграл табличный, его решение может быть представлено следующими зависимостями:

При Δ=bi2-4aici 0, τ=(2maδВР /√-Δ)arctg(2aiV+bi)/√-Δ⏐V  ;      (44)

при Δ=bi2-4aici 0, τ=(maδВР /√Δ)ln(2aiV+bi -√Δ)/(2aiV+bi  +√Δ)⏐V, =

=maδВР/ai(p-g)ln⎪(V-p)/(V-g)⎮⏐V ,     (45)

где p и g – корни уравнения aiV2+bi V+ci =0.

При определении пути разгона, умножив и разделив левую часть

уравнения (39) на dSdt = V, получим

maδВР VdV/dt = aiV2 + biV + ci,    (46)

Разделяя переменные и интегрируя,

Si=maδВР ∫V(VdV/aiV2+biV+ci).    (47)

Используя таблицы интегралов, формула для определения пути

разгона на каждой передаче будет иметь вид

Si=(1/2ai)[maδВР ln|aiV2+biV+ci|⏐V biτi].  (48)

При определении Si  и τi  под знаком логарифмов следует принимать абсолютные значения величин.

При определении разгонной характеристики необходимо учитывать время переключения передач. Понимая, что время переключения передач зависит от водителя и конструкции трансмиссии, условно принимается следующая эмпирическая формула [3] для времени переключения передачи в зависимости от скорости движения ТС (км/ч):

τПi = 0,01V, с.

При «выбеге» отключается двигатель и уравнение (39) принимает

вид:

maδВР VdV/dt = a′ V2 + b′ V + c′ , (49)

Определение времени и пути, проходимого ТС при выбеге, определяется по зависимостям (45) или (46) и (49) при условии, что

VН = Vmax, а VК = 0.

Максимальная скорость. Максимальная скорость достигается на

высшей передаче для определенных дорожных условий при движении по дороге с твердым покрытием. Полагаем, что после достижения максимальной скорости ТС движется на установившемся режиме

dV/dt = 0. Дифференциальное уравнение движения (39) принимает вид aiV2+biV+ci = 0. Корни, полученного алгебраического уравнения будут определять максимальную скорость движения на высшей передаче, соответствующей характеристике дороги:

2

Vmax = (-bi √ bi

– 4aici)/2ai,      (50)

где ai = Аi – KВF; bi = Bi; ci = Ci mag(fcosα  sinα).         (51)

Выражения для коэффициентов ai; bi и ci значительно упрощаются при движении ТС по горизонтальной дороге (α =0).

Максимальное ускорение. Величина ускорения на любой передаче определяется по уравнению (39), представленному в следующем виде:

j = dV/dt = (aiV2 + biV + ci)/maδВР.            (52)

Учитывая, что максимальное ускорение на данной передаче находится как точка экстремума функции j = ƒ(V), необходимо  приравнять нулю первую производную ускорения по скорости и определить величину скорости, при которой ускорение будет максимальным. Полученное выражение для скорости будет равно

V = bi/2ai.

Подставив значение скорости в уравнение (52), получим формулу

для определения максимального ускорения в процессе разгона ТС на заданной передаче

jmax = (ci – bi2/4ai)/maδВР.  (53)

Величины коэффициентов ai,bi  и ci  определяются по формулам

(52) для движения ТС на соответствующей передаче.

Максимальный подъем. Преодоление максимального подъема на низшей передаче осущест-вляется на малой установившейся скорости dV/dt = 0 при Мemax. Дифференциальное уравнение (39) преобразуется в алгебраическое квадратное уравнение aiV2 + biV + ci = 0. Это уравнение движения можно записать в следующем виде:

АiV2 + ВiV + Сi magfcosα + magsinα,

тогда дифференциальное уравнение будет иметь вид

magsinα = ai′′V2 + b′′iV + c′′i            (54)

с коэффициентами ai′′,b′′i и c′′I, имеющими следующие значения:

′′          ′′          ′′

ai = Аi; b i = Bi; c i = Ci magfcosα.

Найдем первую производную от функции угла подъема (54) по

i

 

скорости и, приравняв нулю, определим скорость движения.

откуда V = b′′i/2ai′′.

mag∂sinα/∂V = 2ai′′V + b′′

= 0,

Подставляя полученное выражение для скорости в уравнение (54),

после преобразований получим

sinαmax = (c′′

b′′ 2/4a ′′)/m g.            (55)

i           i           i           a

При  предполагаемых малых углах подъема дороги (≈  10…150)

можно представить cosα = 1. В этом случае определение угла подъема осуществляется сравнительно просто. В ином случае определение αmax производится методом последовательного приближения.

В данном случае движения предельная длина подъема определенной крутизны будет зависеть от начальной скорости, развиваемой

ТС, перед преодолеваемым подъемом. Дифференциальное уравнение движения в этом случае будет аналогичным уравнению при разгоне (39) с коэффициентами (40)

maδΣVdV/dt = aiV2 + biV + ci,

где ai = Аi – KВF; bi = Bi; ci = Ci mag(fcosα + sinα).

Начальная скорость VН  определяется уравнением (50), принимается

максимальной и установившейся перед преодолением подъема. Величина конечной скорости VК  определяется условиями движения: последовательным переключением передач и переходом на низшую передачу с дальнейшим движением на минимальной установившейся скорости или движением до полной остановки. Задаваясь различными углами подъема, можно определить время движения и длину преодолеваемого подъема.

Сила тяги на крюке. Предполагаем, что сила тяги на крюке определяется при установившемся режиме движения ТС dV/dt = 0. В этом случае сила тяги на крюке определяется как разность между окружной силой на колесах (силой тяги) и силами сопротивления движению.

РКР = РКО ∑РС = aiV2 + biV + ci, maδΣVdV/dt.

Максимальная сила на крюке будет соответствовать скорости

V = bi/2ai, следовательно

РКР = ci – (bi2/4ai).    (56)

Средняя скорость движения. Средняя скорость может быть вы

 

числена аналитически для случая движения по дороге с известной характеристикой. Дорога условно разделяется на участки с усредненной и постоянной для данного участка ориентировочной величиной сопротивления. Предполагается, что ТС движется с установившейся скоростью в зависимости от сопротивления движению на каждом участке.

Рис.5. График определения средней скорости движения

Решение уравнения движения (39) при dV/dt = 0, позволяет получить величину установившейся скорости для каждого участка

VУСТi = (-bi √ bi2 – 4aici)/2ai,

где ai = Аi – KВF; bi = Bi; ci = Cimag(fcosα  sinα).

В этом случае ориентировочная величина средней скорости будет равна

где n количество участков.

VСР = ∑VУСТi/n,

Величина средней скорости является ориентировочной, поскольку при движении по участкам не принимались во внимание переходные режимы движения.

Наиболее широко для определения средней скорости движения используется графоаналитический способ. Для определения скорости

строится график, состоящий из четырех квадрантов (рис.5).

В первом квадранте наносится динамическая характеристика D или сила тяги РКО. Во втором квадранте строится интегральная кривая распределения коэффициента ψ (сопротивления дороги), обусловленная статистической характеристикой дороги, по которой должно двигаться ТС. В третьем квадранте проводится прямая, делящая угол квадранта пополам перехода от вероятности ψ характеристики дороги к вероятности скорости. В четвертом квадранте строится ломаная кривая, каждая точка которой определяет вероятность движения ТС с соответствующей скоростью. Последовательность построения кривой определяется стрелками (см. рис.5). Ординаты двух расположенных рядом точек соответствуют вероятностям PS(Vi) и РS(Vi+1) движения со скоростями Vi  и Vi+1. Вероятность движения со скоростью, изменяющейся в интервале, будет PS(VСРi) = PS(Vi) РS(Vi+1). Диапазоны скоростей движения разделяются на i участков, и рассчитываются значения PSi и VСРi для всех участков, откуда

VСР = 1/∑( PSi/VСPi).          (57)

Рассмотренный способ графоаналитического определения средней скорости позволяет определить скорость по обобщенной принятой вероятностной характеристике дороги.  В  частности,  вероятностные

характеристики распределения коэффициента ψ (математическое ожидание mψ  и среднеквадратическое отклонение σψ) для различных дорог представлены в табл. 1.

Таблица 1

Дорожное покрытие

σψ

Дорога с твердым покрытием

0,022

0,012

Грунтовая дорога

0,045

0,022

Бездорожье

0,16

0,045

Рис.5,а, Определение средней скорости движения ТС упрощенным методом

Примечание. Среднюю скорость движения графоаналитическим методом можно определить по упрощенному графику (рис.5,а).

В данном графике сопротивление движению на каждом участке дороги представлено дискретной величиной. Недостаток – отсутствие

расчета величин скоростей на переходных (с одного участка на другой) режимах движения.

Материал взят из книги Расчет тягово-скоростных свойств и топливной экономичности специальных транспортных средств (А.М. Петренко)