Разыскание абсолютных граней области приведения вороного

Область V представляет собой 6-мерный гоноэдр с вершиной в точке О и симплициальным сечением (1, 2, 3, 4, 5, 6) (см. § 1). Любая точка замыкания гоноэдра V характеризуется следующим символом Делоне:

в

где р1? . . . , р6 — неотрицательные числа.

Для внутренних точек гоноэдра V все числа р > 0, и этот символ не имеет нетождественных преобразований в себя (параметр, отвечающий ребру аЪ, — наибольший, а параметр, отвечающий ребру ас, — наибольший из расположенных на прилегающих к аЪ ребрах). Так как в этом случае на ребрах символа нет нуля, то соответствующие этим точкам решетки имеют лишь два приведенных 4-сторонника Зеллинга, которые метрически одинаковы. Таким образом, голоэдрии этих решеток имеют 2-й порядок (триклинная голоэдрия). По терминологии § 6, область V есть абсолютный 6-мерный гоноэдр.

Что касается точек границы области V, то для них некоторые из чисел Ри • • • » Ре равны нулю.

При рб=0 получаем точки границы области V, заполняющие ее 5-мерную грань (1, 2, 3, 4, 5), т. е. гоноэдр с вершиной в точке О и выписанным симплициальным сечением. Для всех точек этой грани на одном из ребер тетраэдрического символа Делоне стоит нуль. Приведем через нуль тетраэдрический символ, отвечающий любой внутренней точке этой грани:

Этим двум символам отвечают два различных приведенных четырехсторонника Зеллинга (и два им центросимметричные, т. е. метрически равные им), которые при рг=^=р3 метрически различны, а при Рх= р3 метрически равны между собой. Так как сам символ в этом случае не имеет нетождественных преобразований в себя, то при р^р3 получается голоэдрия 2-го порядка, а при ,р1= р3 — голоэдрия 4-го порядка. Заметим, что при выписанном выше шаге приведения точки 1 и 3 меняются местами, а точки 2, 4, и 5 остаются без изменения. Следовательно, внутренность грани (1, 2, 3, 4, 5) состоит из внутренностей двух эквивалентных 5-мерных

абсолютных граней  , 3, 2, 4, 5,^ и  , 1, 2, 4, 5), которым отве

чает голоэдрия 2-го порядка, и внутренности одной 4-мерной абсолютной грани     , 2, 4, 5,^, которой отвечает голоэдрия 4-го порядка. Заметим,

что последняя голоэдрия в репере (а, Ь, с} записывается матрицами 0 0 /—1 0 0 /1 0 0 /—1 0 0 10 1,1 0—1 О у (о —1 1 , 0 1—1

40 О 1/ О 0 —1/ 0 1/ о о — ь

что и следует из изложенного выше.

При Рй^О получается 5-мерная грань (1, 2, 3, 4, 6). В этом случае на ребрах тетраэдрического символа нет нулей, так что в соответствующей решетке имеется всего лишь два (метрически одинаковых) приведенных четырехсторонника Зеллинга. Параметры четырехсторонника Зеллинга, расположенные на ребрах аЪ и ас, равны между собой. При дополнительном условии р3= р4 становятся равными параметры, расположенные на ребрах вЬ и (1с, и символ приобретает нетождественное преобразование в себя, чего нет при рз7^р4. В итоге имеем: внутренность грани (1, 2, 3, 4,

состоит из внутренностей двух эквивалентных 5-мерных абсолютных

граней (-у~, 1, 2, 3, 6^ и (-у—, 1, 2, 4, 6^, которым отвечает голоэдрия

2-го порядка, и внутренности одной 4-мерной абсолютной грани        ,

1, 2, 6), соответствующей голоэдрии 4-го порядка, матрицы которой легко выписать.

Аналогично этому при р4=Ю получаем 5-мерную грань (1, 2, 3, 5, 6), состоящую из двух эквивалентных 5-мерных абсолютных граней            ,

3, 5, 6^ и         2, 3, 5, 6^ с голоэдрией 2-го порядка и одной 4-мерной

абсолютной грани    , 3, 5, 6^ с голоэдрией 4-го порядка. При р3 = 0

имеем 5-мерную грань (1, 2, 4, 5, 6), состоящую из двух эквивалентных 5-мерных абсолютных граней     , 1, 4, 5, 6^ и 2, 2, 4, 5, 6^ с голоэдрией 2-го порядка и одной 4-мерной абсолютной грани с голоэдрией

го        порядка. При р2=0 получаем 5-мерную грань (1, 3, 4, 5, 6), состоя_      /1-1-3

щую из двух эквивалентных 5-мерных абсолютных граней (■ ^ -, 1, 4,

6^ и     3, 4, 5, 6^ с голоэдрией 2-го порядка и одной 4-мерной абсо

лютной грани , 4, 5, 6^ с голоэдрией 4-го порядка. При рх = 0 получаем

мерную           грань (2, 3, 4, 5, 6), состоящую из двух эквивалентных 5-мерных

(

24-3     /2-1-3

—2—, 2, 4, 5, 6) и (—, 3, 4, 5, 6^ с голоэдрией

2-го порядка и одной 4-мерной абсолютной грани 3, 4, 5, 6^ с голоэдрией 4-го порядка.

Внутренним точкам 4-мерной грани (1, 2, 3, 4), получающейся при Рв=Рб=0, соответствует символ Делоне, на двух смежных ребрах которого стоят нули. В такой решетке имеется всего 12 различных приведенных четырехсторонников Зеллинга. При р^рз, Р1У^Р4 и Рз¥=Р4 тетраэдрический символ не имеет нетождественных преобразований в себя, а в решетке имеется четыре метрически одинаковых приведенных четырехсторонника Зеллинга, отвечающих такому тетраэдрическому символу, так что голоэдрия 4-го порядка. При дополнительном равенстве рх= р3, или рх= р4, или р3=р4 либо тетраэдрический символ приобретает нетождественное преобразование в себя, либо удваивается количество метрически одинаковых соответствующих ему приведенных четырехсторонников Зеллинга, и поэтому голоэдрия уже 8-го порядка. При рх= р3= р4 все 12 приведенных четырехсторонников Зеллинга метрически равны и тетраэдрический символ имеет нетождественное преобразование в себя, так что голоэдрия в этом случае 24-го порядка. В итоге приходим к выводу, что плоскости р1==р3? рх=р4 и р3= р4 разбивают внутренность 4-мерной грани (1, 2, 3, 4) на шесть эквивалентных 4-мерных абсолютных граней с одной и той же голоэдрией 4-го порядка, три эквивалентные 3-мерные абсолютные грани с голоэдриями 8-го порядка, еще три эквивалентные 3-мерные абсолютные грани с теми же голоэдриями, как и три предыдущие, и одну 2-мерную абсолютную грань с голоэдрией 24-го порядка.

Грань (1, 2, 3, 5), получающаяся при р4= р6=0, как и грани (2, 3, 4, 6) и (1, 3, 4, 6), состоит из шести эквивалентных 4-мерных абсолютных граней с голоэдрией 2-го порядка, трех эквивалентных 3-мерных абсолютных граней с голоэдриями 4-го порядка, еще трех эквивалентных 3-мерных абсолютных граней с теми голоэдриями, что и три предыдущие, и одной

мерной абсолютной грани с голоэдрией 12-го порядка.

Грань (1, 3, 4, 5), как и грань (1, 2, 5, 6), состоит из двух эквивалентных 4-мерных абсолютных граней с голоэдрией 4-го порядка и одной 3-мерной абсолютной грани с голоэдрией 8-го порядка. Эквивалентные грани (1, 2, 4, 5) и (2, 3, 4, 5), (1, 3, 5, 6) и (2, 3, 5, 6), (1, 2, 3, 6) и (1, 2, 4, 6) состоят из двух эквивалентных 4-мерных абсолютных граней с голоэдрией 2-го порядка и одной 3-мерной абсолютной грани с голоэдрией 4-го порядка. Эквивалентные грани (1, 4, 5, 6), (2, 4, 5, 6) и (3, 4, 5, 6) сами являются абсолютными с голоэдрией 2-го порядка. Эквивалентные грани (1, 2, 3), (1, 2, 4) и (2, 3, 4) состоят из шести эквивалентных 3-мерных абсолютных граней с голоэдрией 8-го порядка, трех эквивалентных 2-мерных абсолютных граней с голоэдриями 16-го порядка, еще трех эквивалентных 2-мерных абсолютных граней с теми же голоэдриями 16-го порядка и одной

мерной           абсолютной грани с голоэдрией 48-го порядка. Эквивалентные грани (1, 2, 5), (1, 3, 5) и (2, 3, 5) состоят из двух 3-мерных абсолютных граней с голоэдрией 4-го порядка и одной 2-мерной абсолютной грани с голоэдрией 8-го порядка. Эквивалентные грани (1, 4, 5), (3, 4, 5) и (2, 4, 5); (1, 5, 6), (2, 5, 6) и (3, 5, 6) сами являются абсолютными с голоэдрией 4-го порядка. Эквивалентные грани (1, 3, 6), (1, 4, 6), (3, 4, 6), (2, 3, 6) и (2, 4, 6) состоят из двух 3-мерных абсолютных граней с голоэдрией 2-го порядка и одной 2-мерной абсолютной грани с голоэдрией 4-го порядка. Грань (1, 2, 6) состоит из двух 3-мерных абсолютных граней с голоэдрией 8-го порядка и одной 2-мерной абсолютной грани с голоэдрией 16-го порядка. Грань (4, 5, 6) сама является абсолютной с голоэдрией 8-го порядка. Далее имеем эквивалентные 2-мерные абсолютные грани (1, 5), (2, 5) и (3, 5) с голоэдриями 12-го порядка, 2-мерную абсолютную грань (4, 5) с голоэдрией 16-го порядка, эквивалентные 2-мерные абсолютные грани (1, 6), (3, 6), (4, 6) и (2, 6) с голоэдриями 8-го порядка, 2-мерную абсолютную грань (5, 6) с голоэдрией 16-го порядка, 1-мерную абсолютную грань 5 с голоэдрией 48-го порядка и 1-мерную абсолютную грань 6 с голоэдрией 48-го порядка.

Таким образом, исчерпаны все абсолютные грани всех измерений. Абсолютная область приведения состоит из 59 абсолютных граней различных измерений, включая и сам абсолютный гоноэдр. Соответствующие им арифметические голоэдрии легко могут быть представлены в матричном виде.

§ 3. ВЫВОД 14 ТИПОВ БРАВЕ РЕШЕТОК И 24 СОРТОВ ДЕЛОНЕ

Распределим теперь 59 абсолютных граней по типам Браве. В первый подсписок выделим все абсолютные грани, которым отвечает голоэдрия

го        порядка. Таких граней насчитывается 15 (табл. 6).

4-мерной абсолютной грани ^ ^ 3, 2, 3^, старшей по размер-*

ности и не вошедшей в первый подсписок, соответствует голоэдрия 4-го порядка, всем трехмерным ее абсолютным граням — голоэдрии 8-го порядка. Некоторые повороты из этих голоэдрий индуцируют отражения от плоскостей этих 3-мерных абсолютных граней в плоскости грани

3,). Следовательно, первый слой (а тем самым и все остальные) вокруг грани           , Цг“, 2, 3^ состоит только из экви№ *4 (¥

Группа

Браве

 

Распределение абсолютных граней области приведения Вороного по типам Браве и сортам Делоне

 

(123456);                123б),                 135б), (^145б),

 

145б) ,               245б),                                   Зб),

 

 

подпись: /1+3+4 1+3
v з 2
(1456), зб)
подпись: р1
Зб),      35б), (^23б),

р§±5!±22,)

(Ф И,),            45б), (+ 450);

(Тт’ИТЛСт-*). ТО-(^ «)•№•)

(!±2 45б), (Щ 35«), (+ 15б); (фзб), 1156) (+ 245), (+ 145); (145)

(1±225)|(і±|±2Щ5)|(і±§±2з5)

(І±|НЩ2)

(і±|±ї ш 2) | (і±|±і „)

1245), (^ 245)

1+2+3 1+2

 

II

III

IV

 

(•

 

25)

 

2

Рш

 

2

С~т

т

 

II

III

V

 

10

 

Рттт

Сттт

 

 

Огюст Браве

Группа

Браве

 

Распределение абсолютных граней области приведения Вороного по типам Браве и сортам Делоне

 

№ п/п

 

I

12

II

13

III

14

I

15

I

16

III

17

V

18

I

19

11

20

17

21

V

22

I

23

III

24

 

(т»)

 

 

валентных ей граней. Поэтому 2-й подсписок исчерпывается одной абсолютной гранью.

4-мерной абсолютной грани (“-у-, 2, 4, 5^, старшей по размерности

абсолютной грани общего списка и не вошедшей ни в первый, ни во второй подсписок, соответствует голоэдрия 4-го порядка. Выделим 3-мерную

абсолютную грань (2, 4, 5) абсолютной грани ^ , 2, 4, 5^; 4-мерной

абсолютной грани    1, 4, 5^ также отвечает голоэдрия 4-го порядка,

и у нее есть 3-мерная абсолютная грань (1, 4, 5), эквивалентная выделенной абсолютной грани (2, 4, 5). Но так как грани (2, 4, 5) также отвечает

голоэдрия 4-го порядка (того же, что и у 4-мерной грани), то при преобразовании эквивалентности, при котором (1, 4, 5) переходит.в (2, 4, 5), грань

1, 4, 5^ переходит в грань, смежную с (Чр, 2, 4, 5^ и расположенную вместе с ней в одной и той же 4-мерной плоскости (иначе соответствующее многообразие Браве имело бы размерность больше чем 4).

Но у у-3, 1, 4, 5^ есть абсолютная грань (-Ц=г-, 1, 5^, эквивалентная

мерной абсолютной грани ^ ^ , 1, 5^ 4-мерной абсолютной грани (1±2, 1, 5, 6), У (4^, 1, 5, б) есть (1, 5, 6) ~ (3, 5, 6)с(Ш,

5, 6), у(Ц^, 3, 5, 6) есть(Ц^, 3, б)~(Ш, 4, б)с(Ц^,

5, б), у (Ц^, 4, 5, б) есть (1 + 2, 4, 5)~(Ш, 4, 5)с(Ц^, 4, 5, 6), у (Ц1, 4, 5, б) есть (? + 3, 5, б)~(Ц^, 5, б)с(Ц^,

5, 6), у(Ш, 4, 5, б) есть (1±|±^? 4> б)~(1±|-±^, 1, б) с с(4~* 1* 2, б), и всем им отвечает голоэдрия 4-го порядка, так что

все они попадают в третий подсписок. Кроме этого, к третьему подсписку следует отнести некоторые из абсолютных граней низших измерений. Заметим, что устройство третьего подсписка наглядно изображается симплексом ЬМ^К (рис. 20). Подробнее он будет описан в следующем параграфе.

мерные абсолютные грани пятого подсписка расположены в одном сечении грани (1, 2, 3, 4), и они вместе с двумя им эквивалентными 3-мерными абсолютными гранями исчерпывают все соответствующее многообразие Браве.

Шестой, седьмой и десятый подсписки, как легко видеть, получаются как частные случаи из третьего подсписка, если рассматривать соответствующие грани симплекса ЬММК (рис. 20).

Четвертый и девятый подсписки очевидны, если учесть, что грань (1, 2, 3) есть полное многообразие Браве.

Что касается определения восьмого подсписка, то в двумерной плоскости (1, 5), кроме точек (—1, 0,0, 0,0,0) и (—1, —1, 0, —1, —1, 0), рассмотрим еще три точки: (0, —1, 0, —1, —1, 0), (1, —4, 0, —4, —4, 0)

/А о л о о л    1+2 + 3/2-1-3 + 44

и (1, —3, 0, —3, —3, 0), эквивалентные точкам 3 (~ з )>

и 1 -. Теперь осталось доказать, что в этой плоскости лежат абсолютные грани, эквивалентные соответственно двумерным граням (1, 5), (5, *±|±3), (*±|±1, 6) „ (6, 1±|±*).

Оставшиеся четыре абсолютные грани, очевидно, входят в 11, 12, 13 и 14 подсписки, которым отвечают максимальные арифметические голоэдрии.

Так получены 14 подсписков, соответствующих 14 классам Браве (табл. 6). При непрерывной деформации решетки Л непрерывно изменяются метрические параметры а^ ее основного репера. Множество всех точек ко

подпись: кподпись: мнуса К, получающихся из данной исходной точки (а,..) при всевозможных непрерывных деформациях решетки Л, сохраняющих данный ее сорт Делоне, назовем фазовой областью данного сорта. Все внутренние точки какой-либо определенной грани обла

сти приведения Вороного, очевидно, принадлежат одной и той же фазовой области сорта Делоне. Но они, быть может, не исчерпывают всю эту область, и тогда фазовая область представляет собой объединение некоторых абсолютных граней. В табл. 6 указано распределение абсолютных граней по сортам Делоне, причем абсолютные грани принадлежат (быть может, после ^-эквивалентных преобразований некоторых из них) одной и той же фазовой области. Для сорта 9 имеются три неэквивалентные фазовые области, для сортов 11, 16, 17, 18 и 19 имеются по две неэквивалентные фазовые области, а для всех остальных сортов — по одной. Так получается 31 фазовая область сорта Делоне. Для нетриклинных решеток их нагляднее всего рассматривать в предложенной ниже модели.