Рассеяние на двух центрах

Рассчитаем сечение ионизации мезоатома (/іНе)+ на двух центрах, которыми в нашем случае будут ядра в молекуле 1)2. Пусть мезоатом движется со скоростью vo по прямолинейной траектории. Выберем начало отсчёта в центре мезоатома, т.е. будем считать мезоатом покоящимся. На него пусть налетает молекула, каждое ядро которой движется также по прямолинейной траектории R(t) = b + vt, где v = —v0 — скорость молекулы относительно мезоатома, b — прицельный параметр налетающего ядра. Заряды ядер А и В в молекуле совпадают. Тогда потенциальную энергию взаимодействия отрицательного мюона с ядрами А и В можно рассматривать как возмущение, действующее на мюон в течение конечного времени столкновения с молекулой:

V (r) = —т  1 1

|r — Ri(t)|  |r — R2(t)|

=  1  — — _1_, (4.2)

|r — b — vtl  |r — b — vt — L|  v ;

Здесь и далее принята система мезоатомных единиц, в которой h = e = mu = 1.

В импульсном представлении это возмущение примет вид с учётом уравнения Пуассона [37]:

V(q) = j V(r)e—iqr d3r = % [eriq(b+vt) + e—iq(b+vt+L)) . (4.3)

47Г

V(r)

ражения (4.3) даёт:

V(r) = J Jeiq<r—b—v« (1 + e—’qL) (g5. (4.4)

Амплитуда перехода мезоатома из начального состояния ^1) в конечное f) при столкновении с двумя центрами будет определяться в первом прибли43

жении как:

оо

Afi = —i  dtel(£f —£i)t{f |V (r)|i)

-оо

оо

2тг2 J  J q

—то

Найдём сечение перехода

i  1 dt  -2qei(£f—£i)t(f |eiqr|i)e—iqvte—iqb (1 + e—iqL) . (4.5)

afi = j d2bWfi = J — 2ЦАп|2 =

K2J d2bj -^0{єї — £i — qv)f |eiqr|i)e—iqb (1 + e—iqL) X

x/ ^*(*f — £i — q’v)<f |e—iq’r|i)eiq’b (1 + eiq’L) , (4.6)

где q’ — импульс налетающей частицы, который может принимать все зна-q

Воспользуемся аналитическим представлением 2-мерной ö-функции

J d2bei(q—q)b = (2тг)2ö(2) (q_ — q__) , (4.7)

где q_L = q cos (qb^ — проекция q на плоскость, перпендикулярную к направлению движения ядра молекулы относительно мезоатома (по оси z), q_ = qcos (q’b^. При этом q = (q__, qzqz — проекция q на ось z. Учтём, что ö(ef — Si — qv) = 1 ö (£/— qz), где qz = qv и получим:

afi = f — 341ö(s1^ — qv j |<f |eiqr|i)|2|1 + e—iqL|2, (4.8)

где

11 + e—iqL|2 = |e—itl2. eit + e—iqI2 =^2cosf^)) . (4.9)

44

Тогда сечение перехода будет определяться как:

= 3 / d3qö (^ — qV) cos2( ^ІКЖПОІ2 (4-Ю) Усредним cos2 ^qL^ п0 всем возможным ориентациям L. f dÜL  2 (qlA  1 f  2 (qL cos в)

J i7cos  J=2 У cos4^~)d(cos e)=

qL 2

1   f  2/ N 7  1  fx  sin(2x)  1 sin(qL) = — / cos2(x)dx = —  +——  = +  ^ T ‘.

qL qL 2 2 2qL

2

При достаточно больших L cos2 {^r^j 2 й влияние второго центра можно не учитывать. В общем случае из выражения (4.10):

afi=V2/d3qö (Sf^—qv)(1+singL1)|<f|eiqr|i)|2,

L

и ионизации мезоатома можно считать как при рассеянии каждым центром молекулы в отдельности.

Материал взят из дессиртации Многократные процессы при столкновениях ионов с атомами и молекулами (С.В. Рябченко)