Процедуры  типа УВ: дополнительные условия

Выше в § 6.2 были перечислены характеристические условия, которые равно относятся к процедурам типа УВ и ВВ. Затем в § 6.3 было введено понятие замкнутости, которое имеет очевидный содержательный смысл для процедур типа ВВ, но не имеет столь же четкого содержательного смысла для процедур типа УВ, и поэтому для процедур такого типа не рассматривается. В этом параграфе  мы  опишем  несколько  условий,  которые  имеют  смысл  только  для процедур типа УВ.

Принцип Кондорсе. Напомним понятие  «победитель по  Кондорсе». Им называется вариант х, который предпочитается каждому другому варианту из X

более чем половиной избирателей при попарном сравнении. Иначе говоря, победителем по Кондорсе называется вариант, доминирующий над всеми другими вариантами на мажоритарном графе М, построенном по профилю индивидуальных упорядочений избирателей {Рi}. Такого варианта может не существовать. Если же он существует, то он единственный. Принцип Кондорсе требует, чтобы коллективный выбор состоял из этого варианта х — победителя

по Кондорсе.

Иногда используется также понятие «проигравший по Кондорсе», т. е. вариант, над которым доминируют все , остальные варианты в мажоритарном графе М. На процедуру голосования может быть наложено требование, чтобы проигравший по Кондорсе не был включен в коллективный выбор Y*.

Эти понятия существенны потому, что имеются процедуры голосования,

которые не удовлетворяют принципу Кондорсе, т. е. по некоторым профилям предпочтений избирателей не выбирается победитель по Кондорсе. С другой стороны, имеются процедуры, которые при некоторых профилях предпочтений избирателей включают в коллективный выбор вариант, проигравший по Кондорсе.

Транзитивность  Кондорсе.  Процедура  голосования  удовлетворяет условию  транзитивности Кондорсе, если  из  того  факта,  что  вариант  х  ∈  X

принадлежит коллективному выбору Y* и что больше половины избирателей

предпочитает вариант у варианту х, следует, что вариант у также принадлежит коллективному выбору Y*.

Согласованность. Пусть имеется две группы избирателей. Каждая из этих групп  имеет  свой  профиль  индивидуальных  упорядочений  на  множестве

вариантов X.. Процедура голосования называется согласованной, если из того факта, что вариант х ∈  X входит в коллективный выбор по первому профилю и

этот же вариант х входит в выбор по второму профилю, следует, что вариант х

будет выбран по профилю, образованному соединением этих двух профилей.

Условие  согласованности  процедур  голосования  внешне  похоже  на свойство  согласия  функций  выбора.  Однако  это  сходство  является  чисто

внешним. Свойство согласия накладывает определенные ограничения на выбор из двух множеств вариантов, а условие согласованности касается некоторого

свойства коллективного решения при разбиении избирателей на две группы.

Условия,   основанные на   понятии  вложенности.   Эти

условия требуют, чтобы множество вариантов Y*, выбираемое  данной процедурой  голосования  (коллективное решение),  принадлежало  множеству

«хороших» вариантов. Для каждого из условий такого рода понятие «множество хороших  вариантов»  конкретизируется  по-своему.  Рассмотрим  два  таких

условия, где под множеством «хороших»  выступают соответственно множество парето-оптимальных вариантов и множество Кондорсе.

Вариант х ∈  X называется Парето-оптимальным, если  не существует варианта у ∈  X, который для всех избирателей был бы более предпочтительным,

чем  вариант х. Например,  рассмотрим профиль предпочтений избирателей,

изображенный на рис. 6.10, а. В этом профиле вариант х является более предпочтительным, чем вариант у для всех трех избирателей. Таким  образом,

множество парето-оптимальных   вариантов  состоит  из  вариантов х и z.

148

Множество Кондорсе строится по мажоритарному графу М. Напомним, что дуга хМу в мажоритарном графе М проводится, если более половины избирателей предпочитают вариант х варианту у. Пусть имеется мажоритарный граф М на множестве вариантов X. Множеством Кондорсе называется такое подмножество которое удовлетворяет двум условиям:

Zкон  ⊆ X,

а)  в графе М не содержится ни одной дуги, идущей от варианта из множества XZкон к варианту из множества Zкон;

б)  никакое собственное подмножество Zкон не обладает свойством а).

На содержательном уровне множество Кондорсе состоит из победителя по

Кондорсе  (если  он  есть),  а  в  случае  его  отсутствия  —  из  так  называемого верхнего цикла,

И1

И2

И3

x

z

x

y

x

z

z

y

y

а)   

Рис. 6.10  Рис. 6.11

т. е. минимального множества вершин, замкнутых в цикл, и такого, что ни от одной другой вершины не подходят дуги к вершинам, входящим в этот цикл.

Например,  для  мажоритарного  графа, изображенного  на  рис.  6.11,

множество Кондорсе состоит из вариантов x, у и z.

Введем теперь условия вложенности для процедур голосования типа УВ.

Будем  говорить,  что  процедура  голосования  удовлетворяет  условию вложенности в множество Парето, если для любых профилей индивидуальных

упорядочений  избирателей  {Рi}  коллективный  выбор  Y*  ⊆  X  принадлежит

множеству парето-оптимальных вариантов для данного предъявления X.

Аналогично определяется условие вложенности в множество Кондорсе.

Материал взят из книги Голосование в малых группах: процедуры и методы сравнительного анализа (Вольский В.  И.,  Лезина  З. М.)