Приведение в многообразии браве, ведущее к построению модели расположения нетриклинных решеток в пространстве параметров

В отдельных многообразиях Браве опишем выпуклые приведения для случая тг=3 [43], в частности, области приведения простых и центриро ванных моноклинных трехмерных решеток.

В моноклинной простой решетке выберем основной репер, состоящий из двух векторов а и Ь, расположенных в плоскости отражения,

и третьего вектора с, направленного по двойной оси. Это — так называемый репер Браве. Так как третий вектор перпендикулярен первым двум, то ас=й=0 и Ь*с=#=0. Легко проверить, что множество точек конуса К, для которых /г=0 и £=0, представляет собой 4-мерное многообразие Браве, отвечающее моноклинной голоэдрии, задаваемой матрицами:

Описанный выше репер Браве (а, Ь, с) моноклинной простой решетки будем считать приведенным, если двумерный репер (а, Ь) приведен по Лагранжу, т. е. если 0 ^ 2к ^ а2 ^ 62. Эти неравенства выделяют в нашем многообразии Браве симплециальный гоноэдр, внутри которого нет эквивалентных точек. Поскольку в каждой моноклинной простой решетке есть приведенный репер Браве, то этот симплециальный гоноэдр является областью приведения моноклинных простых решеток.

Ввиду того что точкам одного и того же выходяшего из начала О луча в конусе К соответствуют подобные друг другу реперы, из которых можно рассматривать только один, для наглядного представления вместо конуса К можно рассматривать только его сечение пятимерной плоскостью Р, например, а2—Ь2+с2=1. Описанное выше многообразие Браве в сечении с плоскостью Р дает конечное трехмерное коническое тело, а область приведения в этом многообразии — трехмерный симплекс АВСО в этом конусе (рис. 20).

Если приведенный тетраэдрический символ для моноклинной решетки содержит на смежных ребрах два нулевых параметра, то только в этом случае можно прийти к моноклинному симплексу 9 [44], в котором содержатся шесть симплексов, эквивалентных* нашему фундаментальному симплексу АВСИ. Что касается более подробного описания симплекса А В СВ, то внутренним его точкам соответствуют только моноклинные простые решетки, боковым граням А СО и ВСБ — ортогональные бокоцентрированные решетки, боковой грани АВВ — ортогональные простые решетки, а основание АВС лежит на границе конуса К.

Все моноклинные центрированные решетки будем представлять себе как объемно-центрированные простые, т. е. с объемно-центрированным параллелепипедом Браве. Выберем основной репер (а, Ь, с) моноклинной объемно-центрированной решетки р таким образом, чтобы векторы а и Ь лежали в плоскости отражения и конец вектора с проектировался в центр параллелограмма, построенного на векторах а и Ь. Тогда конец вектора с, очевидно, объемно-центрирует параллелепипед Браве, построенный на репере Браве (а, Ь, —а —Ь+2с). В силу того что вектор а+Ь— —2с направлен по оси 2-го порядка, он перпендикулярен векторам а и Ь

и,         таким образом, а2—к—2/г=0 и k—b2—2g=0. Легко проверить, что множество точек конуса К, для которых удовлетворяются эти два равенства, представляет собой 4-мерное многообразие Браве, отвечающее моноклинной голоэдрии, задаваемой матрицами:

/1 0 0 /—1 0 0 /—1 0 —1 /1 0 1

0 10, 0 —1 0 , 0-1-1,01 1 .

0 1/ 0 О —1/ 0 0.1/ 0 —1/

Эта и предыдущая группы матриц принадлежат разным арифметическим классам.

Покажем, что область приведения в этом многообразии Браве есть симплециальный гоноэдр, определяемый неравенствами 0 < к < а2 < Ь2.

Разобьем этот гоноэдр на три гоноэдра, определяемые в этом многообразии Браве, соответственно, неравенствами: 1) 0 <С 2к < а2 < Ь2, 2) к <С а2 <С2к <С Ь2 и 3) к < а2 < Ъ2 < 2к. Отсюда видно, что этим трем гоноэдрам отвечают, соответственно, приведенные реперы Браве (а, Ь, а+Ь—2с), (а, а—Ь, а+Ь—2с) и (а—Ь, а, а+Ь—2с), а к построенным

на этих реперах решеткам прибавляются, соответственно, узлы (у »у, у), (0, у, у) н 0, у). Но этим и исчерпываются все возможные сгущающие решетку вдвое центрировки параллелепипеда Браве, построенного на приведенном репере Браве моноклинной простой решетки, превращающие эту решетку в моноклинную центрированную решетку. Действительно, проектируя моноклинную центрированную решетку на плоскость ее симметрии, сгущаем имеющуюся в плоскости симметрии плоскую подрешетку до решетки вдвое гуще, поэтому при сгущении новая точка должна попасть либо в центр основного параллелограмма, либо две точки на середину той или иной пары его противоположных сторон. Область приведения моноклинных центрированных решеток, таким образом, представляет собой как бы объединение трех областей приведения моноклинных простых решеток.

Аналогично предыдущему рассматриваемое многообразие Браве в сечении с плоскостью Р дает конечное трехмерное коническое тело, а область приведения в этом многообразии — трехмерный симплекс ЬМИК в этом конусе (рис. 20 и 21).

В случае центрированной моноклинной решетки тетраэдрический символ может быть приведен к различным 8 случаям, отвечающим первым

8 моноклинным симплексам Делоне. На рис. 21 показано разбиение сим-

плекса LMNK на 8 симплексов, (рис. 22), а именно:

эквивалентных

симплексам Делоне

PLQT ~ (

‘1+2 , 2 ’

4, 5, б),

PLNS ~

/1+3 1 2 ’

2, 4, 5),

PLST ~ (

‘1+2 , 2 ’

З/ 5, б),

PKLR ~

/3 + 4 1 2 ’

. 1, 2, б),

PKQR-

/1+3 V 2 ’

. 4, 5, б),

MLST ~

/1+2 V 2 ’

, 2, 5, б),

PLQR ~ |

/2 + 3 1 2 ’

4, 5, б),

MLNS-

СГ-

3, 4, б).

Таким образом, симплекс LMNK как бы состоит из целых первых шести и половинок седьмого и восьмого симплексов Делоне. Оказалось, что внутри симплекса LMNK (рис. 22) есть четыре отрезка, которым отвечают ромбоэдрические решетки. Боковой грани MNK соответствуют ортогональные объемно-центрированные решетки, боковой грани LMK — ортогональные гранецентрированные решетки, боковой грани LNK — ортогональные бокоцентрированные решетки; грань LMN находится на границе конуса К. Итак, все моноклинные простые решетки представлены точками симплекса А В CD, а все моноклинные центрированные решетки — точками симплекса LMNK. Грань LNK симплекса LMNK можно разбить на четыре треугольника, два из которых эквивалентны грани ACD, а два другие — грани BCD симплекса ABCD. Поэтому симплекс ABCD можно присоединить гранью A CD или BCD по части грани LNK к симплексу LMNK. Это означает, что, не теряя моноклинной голоэдрии, от простой до центрированной решетки можно перейти только через ортогональные бокоцентрированные решетки.

Таким образом, из целых первых шести половинок седьмого и восьмого и шестой части девятого моноклинных симплексов Делоне уже строится удобная модель для* моноклинных решеток.

подпись: квадратные, ромбоэдрическое, гексагональное и кубичес кие многообразия браве не содержат в себе целочисленно-эквивалент ных точек.

Аналогично тому, как это делалось для моноклинных многообразий Браве, легко показать, что для ортогональных многообразий Браве прибєдєния, соответственно, имеют вид:

Рис. 21.

§ 5. АБСОЛЮТИЗИРОВАННАЯ ОБЛАСТЬ ПРИВЕДЕНИЯ ВОРОНОГО

Рассмотрим 16 систем равенств и неравенств между приведенными параметрами Зеллинга (табл. 7).

T а б л

и ц а 7

1.

0 ^>k, k^>h, k^>n,

h>l,

h^>m,

h>g

2.

0 = &, k^>h, k^>n,

h>l,

h^>m,

m^g

3.

0]>k, k = h, k^>n,

n’^m,

h>l,

h>g

4.

0 k^>h, k = n,

h>l,

l>g

5.

0 ^>k, k^>h, k^>n,

h — m,

h^l,

l>g

6.

0k^>h, &>n,

h^>m,

h—l,

m^g

7.

0 ‘^>k, k^>h, k^>n,

l’^m,

h>l,

h=g

8.

0 = k, k = h, k^>n,

g^rn,

h>l,

«>£

9.

0 =k, k^h, k = n,

l^m,

g>l,

h>g

10.

0k = h, m^n,

, l^m,

h>l,

h = g

11.

0^>k, k = h, k^>n,

n’^m,

h=l,

m^g

12.

0 = k, k>>h, k^n,

g^m,

h = l,

h>g

13.

0^>k, k^h, k = n,

h = m,

g>l,

h>g

14.

0 =k, k^>h, k^>n,

h = m,

h>l,

l>g

15.

0>h^h, k = n,

g^m,

h = l,

h>g

16.

0^>k, k = h, k = n,

h^>m,

h>l,

l>g

Первая из этих систем, состоящая из одних строгих неравенств между параметрами Зеллинга, задает всю внутренность фундаментальной области приведения Вороного [40], т. е. она представляет собой абсолютный

мерный гоноэдр. Оставшиеся 15 систем являются объединениями абсолютных граней.

Любая положительная тройничная квадратичная форма эквивалентна одной и только одной форме

/ = —Ix2 — miß — nz2 — к (х — у)2 — h (х — z)2 — g(y — z)2,

зеллинговы параметры g, 7г, к, Z, т, п которой удовлетворяют одной из описанных выше 16 систем равенств и неравенств. Наоборот, всякая такая квадратичная форма, параметры g, /г, к, Z, т, п которой удовлетворяют одной из 16 выписанных систем, является положительной.

ЛИТЕРАТУРА

Bravais A. Abhandlung über die Systeme von regelmässig auf einer Ebene oder im Raum vertheilten Puntsten (1848). Ostwald’s Klassiker, Leipzig, 1897, N 90.

Zassenhaus H. Über einen Algorithmus zur Bestimmung der Raumgruppen. Comm. mathem. helwetici, 1948, 21, 117—141.

Neubüser J., Wondratschek H., В ü 1 о w R. On Crystallography, in Higher Dimensions. I General Definitions. Acta Cryst., 1971, А 27, 517—520.

В ü 1 о w R., Neubüser J., Wondratschek H. On Crystallography in Higher Dimensions. 2. Producedure of Computation in R4. Acta Cryst., 1971, A 27r 520-523.

Wondratschek H., В ü 1 о w R., Neubüser J.On Crystallography in Higher Dimensions. 3. Results in i?4. Acta Cryst., 1971, А 27, 523—535.

-6. Dirichlet L. Über die Reduction der Positiven Quadratischen Formen mit drei unbestimten ganzen Zahlen. J. reine und angew. Math., 1848, 40, 209—227.

Д e л о н e Б. H. Геометрия положительных квадратичных форм. УМН, 1937, вып. 3, 16—62; 1938, вып. 4, 102—164.

Белов Н. В. Теорема примитивности (пустоты) основного параллелепипеда кристаллической решетки. Кристаллография, 1957, 2, 6.

Д е л о н е Б. H., Галиулин Р. В., Долбилин Н. П., Залгаллер В. А., Штогрин М.И.О трех последовательных минимумах трехмерной решетки. ДАН СССР, 1972, 209, № 1, 25—28.

10. В г а v а i s A. Abhandlung über Symmetrische Polyeder (1849). Ostwald’s Klassiker, Leipzig, 1890, N 17.

И. Ф e д о p о в E. C. Начало учения о фигурах. С.-Петербург, 1885.

В о р о н о й Г. Ф. Исследование о примитивных параллелоэдрах. Собр. соч., 1952, т. 2, 239—368.

Житомирский O.K. Verschärfung eines Satzes von Voronoi. Ж урн. ленингр. матем. общ-ва, 1927.

Ш т о г р и н М. И. Правильные разбиения Дирихле—Вороного для второй триклинной группы. Тр. МИАН, 1973, 123.

Delaunau В. Neue Darstellung der geometrischen Kristallographie. Z. Kristallogr., 1932, 84, H 1/2, 109—149.

L a g r a n g e. Sur les pyramides triangulaires. Oeuvres de Lagrange, 1773.

G a u s s K. Disquisitiones arithmeticae. Werke, 1801, 1,

S e e b e r L. Untersuchungen über die Eigenschaften der positiven ternären quadratischen Formen. Freiburg, 1831.

G a u s s K. Recension der «Untersuchungen über die Eigenschaften der positiven quadratischen Formen von Ludwig August Seeber». J. reine und angew. Math., 1843, 20, 312—320

S e e b e r L. Versuchen einer Erklärung des inners Baues der festen Körper, 1824.

Selling. Über die binare und ternäre quadratischen Formen. J. reine und angew. Math., 1874, 77, 143.

Делоне Б. H., Александров A. Д., ПадуровН. H. Математические основы структурного анализа кристаллов. ОНТИ ГТТИ, М., 1934.

International Tables for X-ray Crystallography. Birmingham, 1952, v. 1.

Patterson A. L., LoveW. E. Remarks on the Delaunau Reduction. Acta Cryst., 1957, 10, 111—116.

Делоне Б.Н. Дополнение к моей работе 1933 года о правильной установке кристаллов. ДАН СССР, 1965, 161, № 3, 511-514.

Азаров JI., Бургер М. Метод порошка в рентгенографии. М. ИЛ, 1961.

М i n к о w s к i H. Diskontinuitatsbereich für arithmetische Äquivalenz. Crelle, 1905, 129, 220—224.

Литвинская Г. П., Загальская Ю. Г., Галиулин, Р. В. Коваленко В. С. О матричной записи кристаллических классов в репере Браве. Сб. «Проблемы кристаллологии», МГУ, 1971, 284—288.

Korkin A., ZolotareffG. Sur les formes quadratiques. Math. Ann., 1873. 6, 366-389.

Михеев В. И. Гомология кристаллов. Л., 1961.

Галиулин Р. В., Рышков С. С. О некоторых основных понятиях геометрической кристаллографии. Сб. «Проблемы кристаллологии», МГУ, 1971.

В i е b е г b а с h L. Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume. Math. Ann., 1911, 70, 297—336; 1912, 72, 400.

Штогрин M. И. Тип Браве решетки и полная группа движений, совмещающих решетку с собой. Сб. «Проблемы кристаллологии», МГУ, 1971.

Neubüser J., Wondratschek H. Untergruppen der Raumgruppen. Kristall und Technik, 1966. 4.

Д е л о н е Б. H., Сандакова H. Н. Теория стереоэдров. Тр. МИАН, 1961, 64; 28—51.

Галиулин Р. В. Матрично-векторный способ вывода Федоровских групп. ВИНИТИ, 1969. ..

Frobenius. Uber die unzerlegbarung diskreten Bewegungsgruppen. Sitz. König. Preus. Akad. Wissenschaften, Berlin, 1911, 654—665.

Долбилин H. П.0 трехмерных и четырехмерных простых формах. Сб. «Проблемы кристаллологии», МГУ, 1971.

Dade Е. С. The Finite Groups of 4X4 integral matrices. Illinois J. mathem., 1965, 9, 1, 99—122.

Вороной Г.Ф. О некоторых свойствах положительных совершенных квадратичных форм. Собр. соч., 1952, т. 2, 171—238.

Рыжков С. С. О максимальных конечных группах (гаХи)-матриц. ДАН СССР, 1972, 204, № 3.

ВенковБ.А.О приведении положительных квадратичных форм. Изв. АН СССР, сер. матем., 1940, 4, 1.

Делоне Б. H., Штогрин М. И. Об одной демонстрационной модели, наглядно показывающей изменение симметрии кристалла при изменении самой решетки. Сб. памяти акад. А. В. Шубникова, М., 1973.

Делоне Б. Н. К теории приведения. Кристаллография, 5, вып. 4, 501—507.

Штогрин М. И. Об областях приведения Вороного, Венкова и Минковского. ДАН СССР, 1972, 207, № 5.

Кристаллографические этюды

Материал взят из книги Кристаллографические этюды (Браве О.)