Применение с?-инвариантных разбиений {0} конуса к к теории конечных групп целочисленных матриц и к разысканию типов браве ^-мерных решеток

МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ МАТРИЦ

Геометрической кристаллографией можно считать все то, что математически следует из правильности структуры монокристалла. Большинство из этих следствий, как было показано выше, тесно связаны с теорией конечных групп целочисленных матриц, что впервые было подчеркнуто Бибербахом [32] и Фробениусом [37]. Такой подход особенно необходим при переходе от 3-мерной к тг-мерной кристаллографии, в которой уже трудно обходиться элементарными геометрическими методами, давшими построение 3-мерной геометрической кристаллографии.

Следует подчеркнуть, что не все вопросы геометрической кристаллографии сводятся к использованию конечных групп /г-мерных целочисленных матриц. Таков, например, вопрос о простых формах [38].

В теории конечных групп целочисленных матриц имеются следующие две основные задачи:

а)         как вообще найти все неэквивалентные конечные группы целочисленных матриц для данного измерения п (неэквивалентные арифметические группы);

б)         как выделить среди них те, которые суть арифметические голоэдрии.

Если уже найдены представители всех арифметических классов, то,

как это показал Цассенхауз [2, 36], непосредственно можно вычислить все федоровские группы для данного числа измерений.

В настоящее время для решения первой задачи существует два способа. Первый способ состоит в использовании максимальных групп. По теореме Жордана, неэквивалентных арифметических групп конечное число. Следовательно, среди них можно выделить такие группы, которые не являются подгруппами других таких групп. Эти группы называются максимальными. Для п = 3 их четыре: три группы целочисленных матриц, записывающих точечную кубическую группу в основных реперах примитивной, гранецентрированной и объемно-центрированной кубических решеток, а также четвертая группа, записывающая точечную гексагональную группу в основном репере гексагональной решетки.

Имея максимальные группы и комбинируя их матрицы между собой, можно найти все их подгруппы, причем некоторые из них могут оказаться целочисленно-эквивалентными, и тогда из каждой системы таких эквивалентных групп надо взять только одну.

Для п = 3 насчитывается 73 попарно-неэквивалентные конечные группы целочисленных матриц, но они были найдены не как подгруппы максимальных, а из того соображения, что геометрических классов 32 и некоторые из них могут соответствовать решеткам различных типов Браве. Так получается 66 арифметических классов. Но некоторые из геометрических классов могут иметь еще различные установки и поэтому окончательно получается 73.

Все максимальные группы для п=4 впервые были найдены в довольно трудной работе Дейде [39]. Их оказалось 9. Немецкие математики Нойбюсер и Бюлов и кристаллограф Вондрачек нашли все попарно-неэквивалентные 4-мерные конечные группы целочисленных матриц, непосредственно разыскивая все подгруппы 9 максимальных групп Дейде и отбрасывая эквивалентные [3—5]. Их обширные вычисления на больших электронных машинах дали число 710, которое, по-видимому, можно считать окончательным.

Второй способ, который в основном и будет рассматриваться в дальнейшем, заключается в использовании. С-инвариантных разбиений {(?} А^-мерного конуса К положительных квадратичных форм с п переменными. Среди полных групп неэквивалентных граней всех измерений какого-либо разбиения {(?} в частности содержатся и все максимальные группы.

Исследуя совершенное разбиение Вороного [40], являющееся одним из {(?}-разбиений, С. С. Рышков нашел все неэквивалентные максимальные 5-мерные группы. Их оказалось 17. Этот результат, несомненно, является важным достижением [41].

Для решения второй задачи, т. е. разыскания всех я-мерных голоэдрий (типов Браве) a priori, также имеется два метода. Первый метод заключается в использовании многообразий Браве [35]. Он был применен по совету Цассенхауза Нойбюсером, Бюловым и Вондрачеком для разыскания всех 4-мерных типов Браве. Немецкие ученые пишут [4]: «Для того чтобы выделить все классы Браве из всех вообще арифметических классов (а эти 710 классов были найдены ранее указанным способом), мы выводим из определения, данного нами в первой статье, другую характеристику классов Браве, предложенную Цассенхаузом».

Характеристика эта состоит в следующем. Пусть Н — некоторая конечная группа гс-мерных целочисленных матриц и Q (Н) — многообразие Браве этой группы (здесь введены обозначения Н, £2, G, Y из [4], а название многообразия Браве было нами введено в [35]), т. е. Q — совокупность всех точек конуса К, которая переходит в себя теми iV-мерными преобразованиями группы {G} эквивалентности конуса К в себя, которые индуцируются конечной группой Н я-мерных целочисленных матриц. Как показано в [35], многообразие Браве линейно и проходит через вершину конуса К. Пусть теперь Y совсем произвольное линейное многообразие того или иного измерения, проходящее через вершину конуса и G (^-совокупность всех тех преобразований группы {G} эквивалентности, которые преобразуют Y поточечно в себя. В силу рассмотренных выше свойств многообразия Браве, группа Н будет арифметической голоэдрией, очевидно, тогда и только тогда, когда она суть полная подгруппа группы {G} поточечного преобразования в себя рассматриваемого многообразия Браве. Немецкие ученые пишут [4]: «Это есть характеристика, которую мы можем использовать, имея наши данные». Легко построить линейные многообразия Браве для любой данной группы Н, как было указано выше. Но, продолжают авторы: «. . . гораздо труднее найти G (У), если Y дано системой линейных уравнений. Однако, используя все, что было найдено при помощи вычислительных машин, мы можем избегнуть трудных вычислений при помощи способа, описанного в § 4».

В этом параграфе работы немецких ученых описывается программа, дающая нужные результаты. Но отмечается, что это описание есть лишь упрощенное изложение той действительной программы, которая применялась. Благодаря этому способу немецкие ученые убедились, что существует 64 различных 4-мерных типа Браве.

Надо сказать, что предлагаемый ниже второй способ для решения второй задачи, основанный на рассмотрении абсолютных граней разбиения {(?}, теоретически является, может быть, более совершенным, чем способ, предложенный Цассенхаузом. Однако окончательный результат для п=4 пока получили все же немецкие ученые.

Материал взят из книги Кристаллографические этюды (Браве О.)