Общая формула для вероятности

Нам удобно считать, что снаряд покоится в начале системы координат, а мишень движется с постоянной скоростью V по прямолинейной траектории, координаты ядра атома-мишени R = b + vt7 где b — параметр удара, / — время. Для упрощения записи формул будем считать, что снаряд и мишень имеют по одному электрону (обобщение на случай многоэлектронных сталкивающихся систем будет проведено ниже). Пусть rp координаты электрона структурного иона-снаряда относительно ядра снаряда и координаты электрона атома-мишени относительно ядра мишени ra. Потенциал взаимодействия снаряда и мишени имеет вид (здесь и везде ниже используются атомные единицы):

V(Га’  /} = ~R(t) Р+ ra| R(t) Гр| + |R(/) + ra rp| ‘ ^

где Zp — заряд ядра снаряда, Za — заряд ядра мишени (межъядерное взаимодействие, как не вызывающее электронных переходов, опущено). Состояния электрона изолированной мишени будем описывать полным набором волновых функций pn(ra), состояния электрона изолированного снаряда полным набором волновых функций ff k(ra). Тогда, начальное состояние сталкивающихся систем Фоо = ff0(rp)p0(ra), конечное состояние Фкп = ff к (rp)pn (ra). Далее, мы как и в работах [35, 87], будем считать относительную скорость столкновенияv большой и поэтому — возмущение (3.1) действующим внезапно. Приведём соответствующие условия: время столкновения снаряда и мишени тс ~ a/v, ще a ~ 1 — характерный размер сталкивающихся систем, характерное время обращения электронов на орбите т.. следует считать ~ 1, как для электронов снаряда, так и мишени, поскольку цель нашего рассмотрения — столкновения многоэлектронных систем у которых подавляющее число электронов находится на верхних оболочках с большими квантовыми числами. Таким образом, для применимости представлений о внезапности возмущения тс <С т5, в интересующем нас случае достаточно выполнения неравенства v ^> 1. В приближении внезапных возмущений амплитуда перехода электрона атома-мишени из состояния (p°(ra) в состояние Lpn{ra) и электрона снаряда из состояния ff°(rp) в состояние ff к(rp) в результате столкновения равна [24, 27]

Соответствующая вероятность = |A°^n|2. Нас будут интересовать переходы при которых одновременно изменяются как состояние мишени, так и состояния снаряда, причём будет интересовать вероятность каких-либо конкретных переходов в снаряде при произвольном (не фиксированном) конечном состоянии мишени. Поэтому суммируем по всем конечным (полный набор) состояниям мишени, и с учётом условия полноты системы функций

(fn(ra) ПОЛуЧИМ

n ^

X | / d3rpff^ (rp)expf — if  Ua(ra, Гр ,t)dt] ф°(тр)2, (3.3)

где через Ua(ra, rp, t) обозначена часть потенциала V(ra, rp, t), описываемая вторым и третьим слагаемыми в формуле (3.1) и равная потенциалу, действующему со стороны мишени на электрон бомбардирующего иона. Таким образом, нами получена вероятность W°_>k(b) перехода электрона снаряда из состояния ff о в состоян не ff к в зависимости от прицельного параметра b

состояниям атома-мишени). Соответствующее сечение возбуждения получается интегрированием вероятности W°_>k(b) по всей плоскости парамет-b

Рассмотрим неупругие процессы при столкновениях многоэлектронных структурных ионов со сложными многоэлектронными атомами. Обозначим Na полное число электронов в атоме, Np полное число электронов в ионе. Потенциал, действующий со стороны атома (мишени) на электроны бомбардирующего иона Ua({ra}, {rp},t) есть функция не только относитель

ных координат ядер снаряда и мишени R = (vt, Ъ), но и положений всех электронов мишени, совокупность координат которых обозначаем {ra}, и положений всех электронов снаряда, совокупность координат которых обозначаем {rp}. Соответствующее естественное обобщение формулы (3.3) на случай перехода электронов снаряда из основного состояния |Ф0({гр}) > в произвольное возбуждённое состояние |Фп({гр}) > при произвольной судьбе атома-мишени имеет вид

Непосредственное использование этой формулы затруднено в случае, когда снаряд и мишень являются существенно многоэлектронными, т.е. Na ^> 1 iNp 1. Однако, это же обстоятельство позволяет воспользоваться следующим упрощением. За время столкновения положения электронов мишени относительно ядра мишени не успевает измениться. При большом числе электронов мишени и снаряда естественно считать, что потенциал, действующий со стороны атома (мишени) на электроны бомбардирующего иона (снаряда) представляет собой среднее от потенциала Ua({ra}, {rp},t) по начальному — основному состоянию электронов мишени. Будем считать, что состояния электронов мишени описываются [82], как одноэлек-тронные орбитали в среднем самосогласованном поле в модели Дирака-Хартри-Фока-Слейтера. Тогда может быть предложена [82] простая аналитическая форма записи для экранирующей функции для нейтральных атомов с атомными номерами Za = 1 ! 92. Поэтому, потенциал действующий со стороны мишени на электроны снаряда может быть представлен в виде

w^n(h) = ЫК })|х

хЫК})>. (3.4)

Ua({ra}, {rp},t) = 3

R(t) r

37

где Ai w ai постоянные табулированные [82] для всех атомных элементов. Таким образом, потенциал Ua в формуле (3.4) не зависит от координат электронов мишени {ra} и, т. к. < ^0({ra})|^0({ra}) >= 1, то вероятность (3.4) перехода электронов снаряда из основного состояния |Ф0({гр}) > в произвольное возбуждённое состояние |Фп({гр}) > при произвольной судьбе атома-мишени принимает простой вид

Wo^n(ty = |<Фп(Ы)| exp ^-i^х(Ъ,rp)j |Фо({гр})>|2, (3.6)

где функция х(Ъ, rp) имеет смысл эйкональной фазы и равна

Za 3

Х(Ъ, rp) =—aY AiKo(tti^ Sp|), (3.7)

i=

где sp проекuия rp — на плоскость параметpa удара Ъ. Другими словами (ср., [80]), (3.6) представляет собой вероятность возбуждения покоящегося в начале системы координат структурного иона-снаряда движущимся со скоростью v нейтральным атомом-мишенью, описываемым как протяжённый объект с пространственно неоднородной плотностью заряда. В таком же виде искомая вероятность, следуя методике изложенной в работе [80] для возбуждения атомов движущимися с релятивистскими скоростями протяжёнными зарядами, может быть получена и в приближении эйконала, применяемому к описанной задаче. Таким образом, формула (3.6) применима и в случае столкновений движущимися с релятивистскими скоростями снарядом и мишенью, лишь бы в системе покоя снаряда электроны снаряда были бы нерелятивистскими до и после столкновения (аналогичное требование и к электронам мишени в системе покоя мишени).

Материал взят из дессиртации Многократные процессы при столкновениях ионов с атомами и молекулами (С.В. Рябченко)