О конечности полных групп граней любого измерения разбиения

Можно показать, что из 1, 2, 3 условий разбиения следует, что полные группы {6?} всех тех преобразований эквивалентности 6?, которые преобразуют данную (? в себя, конечны. Отсюда следует конечность любой группы 6?д преобразований грани разбиения д любого измерения. Действительно, к такой группе будут принадлежать только С, преобразующие в себя как (?, которому принадлежит д, так и д, либо преобразующие () в один из тех (?’, который смежен с ним по д, а д в себя. Но таких преобразований конечное число [35].

§ 4. СВЯЗЬ КОНЕЧНЫХ ГРУПП ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ (иХи)-МАТРИЦ С ГРАНЯМИ РАЗБИЕНИЯ {(?}

Пусть имеется конечная группа (п X я)-матриц 4я. Тогда, в силу теоремы Машке, можно (и даже различными способами) вычислить положительную квадратичную форму от п переменных Р, которая преобразуется этой группой в себя. Эта форма как точка, принадлежащая конусу К, лежит внутри одной и только одной какой-нибудь грани д какого-либо измерения к разбиения {(?}. Всякое преобразование С, индуцированное преобразованием группы 4я, преобразует эту точку, а следовательно, и эту ^-мерную грань д в себя, так как в силу С-инвариантности разбиения {(?} оно могло бы преобразовать эту к-мерную грань либо в себя, либо в другую ^-мерную грань. Но разные грани разбиения (? не имеют общих внутренних точек. Итак, получается следующая теорема.

Теорема. Всякая группа, индуцированная конечной группой целочисленных (п X 7г)-матриц, есть полная группа или подгруппа некоторой определенной грани д разбиения {(?} того или иного измерения, не лежащей целиком на границе конуса К.

Следствие. Ввиду того что различных попарно-неэквивалентных граней различных измерений, не лежащих на границе конуса К, конечное число, снова получается теорема Жордана о конечности неэквивалентных конечных групп целочисленных (п X тг)-матриц.

§ 5. О «ЦЕНТРАХ ТЯЖЕСТИ» ГРАНЕЙ РАЗБИЕНИЯ {<?}

Введем особое понятие центра тяжести ^-мерной грани (^-мерного гоноэдра) разбиения {(?}. Возьмем на каком-либо ребре этой грани некоторую точку А, отличную от точки О. Пусть имеется эквивалентное ему ребро по отношению к группе грани. Покажем, что каким бы преобразованием группы грани это ребро О А’ не получилось из ребра О А, точка А перейдет при этом в одну и ту же его точку А Действительно, пусть преобразованием а из группы этой грани А переходило бы в точку А’ этого ребра, а преобразованием р— в точку Л=^=А’ этого ребра. Тогда преобразование у= а_1р переводило бы А’ в А, т. е. было бы гомотетией ребра относительно точки О, и, следовательно, было бы бесконечного порядка, что противоречит конечности группы Су Если у грани д есть еще какое-либо ребро, не эквивалентное О А по группе то, взяв на нем произвольную точку В, отличную от О, на ребрах, ему эквивалентных по С? , получим эквивалентные В точки В’, В" и т. д.

Так получим на всех ребрах д вполне определенные точки А, А’, А", . . ., В, В’, В". . . ит. д., которые будут переходить только друг в друга при всех преобразованиях группы Су И, следовательно, центр тяжести Ся всех этих точек будет переходить в себя в силу аффинности С. Но этот центр тяжести, очевидно, лежит внутри грани, и поэтому, наоборот, если преобразование q преобразует его в себя, оно преобразует и эту грань в себя. Отсюда получается следующая теорема.

Теорема. Полная группа грани д любого измерения разбиения {(?} есть голоэдрия (например, своего центра тяжести).

§ 6. РОЛЬ АБСОЛЮТНЫХ ГРАНЕЙ В РАЗЫСКАНИИ ВСЕХ ГОЛОЭДРИЙ (ТИПОВ БРАВЕ)

Примеры, однако, показывают, что существуют голоэдрии, которые не есть полные группы граней какого-либо измерения разбиения {(?}.

С чем же связаны голоэдрии?

До сих пор математики считали, что если они нашли в конусе К замыкание некоторой фундаментальной области группы эквивалентности {С?}, т. е. такую область, что всякая точка конуса К ^-эквивалентна какойлибо ее точке и все ее внутренние точки попарно С-неэквивалентны друг другу, то они построили какую-либо теорию приведения решеток. Но среди точек границы могут быть и эквивалентные друг другу. Можно, однако, абсолютизировать и границу, чтобы в оставшемся множестве точек конуса К уже вообще не было эквивалентных точек.

М. И. Штогрин показал, что можно абсолютизировать любое С-инвариантное разбиение {(?}, превратив его, может быть, в более дробное разбиение с подразделенными гранями (см. § 7), но тоже С-инвариантное, причем отдельные гоноэдры любого измерения этого более дробного разбиения с подразделенными гранями суть «абсолютные грани» в том смысле, что никакие две точки такой грани уже не эквивалентны друг другу. Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема. Полная группа любой абсолютной грани есть голоэдрия и, наоборот, любая голоэдрия есть полная группа такой грани.

Действительно, любое 6?, которое преобразует какую-либо абсолютную грань в’себя, преобразует в себя и любую ее внутреннюю точку, так как иначе внутри абсолютной грани были бы эквивалентные точки, что противоречило бы ее абсолютности. И обратно, в силу С-инвариантности разбиения конуса К на абсолютные грани, любое 6?, преобразующее внутреннюю точку абсолютной грани в себя, преобразует и эту грань в себя. Таким образом, полная группа любой абсолютной грани есть не что иное, как голоэдрия любой ее внутренней точки, и наоборот.

Материал взят из книги Кристаллографические этюды (Браве О.)