МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭФФЕКТА НЕСИММЕТРИЧНОГО НАГРЕВА НЕУРАВНОВЕШЕННОГО ВАЛА В СЕКТОРНОМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ ПОДШИПНИКЕ

Работа посвящена построению математической модели для определения несимметричного прогрева неуравновешенного прецессирующего вала в секторном цилиндрическом подшипнике. Построенная модель применена к простой динамической системе, состоящей из вала с одним 5 секторным подшипником и свисающего диска (массы). Результаты подтвердили наличие несимметричного нагрева как для прямой так и для обратной прецессии.

Ключевые слова: цилиндрический секторный подшипник, несимметричный нагрев, статический дисбаланс, прецессия.

В ве ден ие

В последнее время с развитием технологий проблемы, связанные с исследованием устойчивости валов в роторных

системах, приобретают всѐ большее значение. Одну из таких проблем представляют спиральные вибрации ротора. Эти вибрации вызваны температурным изгибом вала, который является следствием появления так называемых ―горячих точек‖ на поверхности вала. Причиной их появления является прямая или обратная прецессия вала. При этом скорость прецессии равна скорости вращения вала вокруг своей оси. Дело в том, что во время такого движения одна часть поверхности вала всегда будет находиться на меньшем расстоянии от втулки, чем диаметрально противоположная. Так как в более узком месте смазочного слоя выделяется больше тепла, то вал нагревается здесь сильнее, чем с противоположной стороны. Возникающий градиент температуры приводит к изгибу вала, тем самым увеличивая его дисбаланс. Как следствие, увеличивается орбита прецессионного движения, что приводит к более интенсивному нагреву вала и дальнейшему его изгибу. Исследования показали, что ―горячие точки‖ возникают преимущественно в роторных системах со свисающими массами. Неустойчивость вибраций в этом случае в зарубежной литературе получила название эффекта Мортона (Morton effect) [1], [2].

Основной задачей при построении модели расчѐта и анализа спиральных вибраций является определение несимметричного теплового потока от смазки к валу. Именно этой задаче и посвящена эта работа.

Построенная в результате работы модель, была применена к системе, изображѐнной на рис. 1. Эта система состоит из вала с одним пятисекторным подшипником и свисающего диска. Вал считается жестким.

О сн овн ые у ра вн ен ия

Рисунок 1. Динамическая система

Объектом исследования является широко распространенный секторный цилиндрический подшипник с самоустанавливающимися вкладышами, геометрия которого и используемая система координат изображены на рис. 2,

Рисунок 2. Геометрия секторного подшипника

где введены следующие обозначения: e0 – эксцентриситет в положении статического равновесия, Rj – радиус вала, Оп – центр подшипника, Ов – центр вала, Ос – центр вкладыша без наклона, Ос’ – центр наклонѐнного вкладыша, θs – угловая координата начала вкладыша, θсект – угловая протяженность вкладыша, h – толщина смазочного слоя,  – угловая координата, отсчитываемая от оси X, Rb – радиус подшипника, Rp – радиус вкладыша, ψ – угол наклона вкладыша.

Введѐм ещѐ несколько обозначений:

Cb = Rb — Rj – радиальный зазор, t – время, Lb – длина подшипника, ω – угловая скорость вращения вала, z – осевая координата, μ – вязкость смазки, m = 1 – Cb/Cp – преднагруженность вкладыша.

Область, состоящую из смазочного слоя и вкладыша, будем называть сектором. Введѐм безразмерные величины, пометив их чертой сверху

где p – давление в смазке, p* = 6UμRj/Cb

– масштаб давления, U – линейная скорость поверхности вала.

Для определения распределения давления в смазочном слое каждого сектора используется уравнение Рейнольдса,

безразмерная форма которого может быть записана следующим образом (далее в выкладках чѐрточки опустим, предполагая всегда работать с безразмерными переменными)

Давление масла на входе в сектор равняется давлению подачи смазки ps. На остальных границах смазочного слоя в секторе давление равно атмосферному давлению pa. Если даление смазки падает ниже нуля, начинается кавитация. В этом случае используется граничное условие Свифта – Стибера (Swift — Stieber). В итоге для уравнения (2) используются следующие граничные условия:

f a

 

где θc угловая координата начала зоны кавитации, θf – угловая координата конца сектора.

Для определения температуры смазки используется уравнение энергии для несжимаемого ламинарного течения. В

÷

 

данной работе используется упрощающее предположение о том, что температура не меняется в осевом направлении и поэтому решается двумерное уравнение энергии в серединной плоскости подшипника. Поскольку в серединной плоскоти подшипника осеые производные давлния равны нулю, осевая компонента скорости vz и еѐ производные также равны нулю. Таким образом, уравнение энергии можно записать в следующем (размерном) виде

где T(θ, z) – температура смазки, ρ – плотность смазки, cv – коэффициент удельной теплоѐмкости при постоянном объеме, λ – теплопроводность масла, vx, vy – компоненты вектора скорости смазки.

Введѐм масштабы для температуры и скоростей следующим образом

Для того, чтобы преобразовать расчѐтную область к прямоугольному виду сделаем замену переменных: θ*=θ, y*=y/h.

ç

 

÷

 

Учитывая эту замену, а также введѐнные в (1) и (5) масштабы, запишем безразмерную форму уравнения (4) в новых переменных (звѐздочки опустим, предполагая работать в новых переменных)

Для решения уравнения энергии (6) и уравнений (7) также используется метод малых возмущений. Решение этих уравнений ищется в форме, аналогичной разложению толщины плѐнки и давления: F = F0 + δF (здесь F это T, vx или vy). Более того, исходя из (10), возмущѐнные слагаемые для температуры и скоростей могут быть представлены в виде δF = Fccost + Fssint. Такое разложение заметно упрощает процедуру решения возмущѐнного уравнения энергии.

О среднё нн ый т еп лово й пото к от сма зки к в а л у

Прямое моделирование тепловых процессов в подшипнике с прецессирующим валом сложно осуществимо, поскольку

имеет место сильное различие временных масштабов тепловых процессов, происходящих в смазке и вале. Параметры смазки меняются очень быстро, вал греется медленно. Для решения этой проблемы в данной работе будет определяться осреднѐнный за одно прецессионное вращение тепловой поток от смазки к валу. Далее этот поток можно использовать для расчѐта нагрева вала с шагом по времени, в который укладывается несколько прецессионных вращений вала. Это сделает такой расчѐт достаточно быстрым и хорошо применимым на практике. Более подробно подобный подход описан в [4].

Во вращающейся системе координат (r,θ,z), связанной с валом, угловая координата φ связана с угловой координатой θ в смазочном слое следующим выражением: φ = θ – t. Для определения теплового потока, осреднѐнного за один прецессионный оборот, необходимо проинтегрировать по времени тепловой поток от смазки к валу в каждой точке поверхности вала, принимая во внимание связь угловых координат для смазки и вала

Расчѐты проводились для подшипника со следующими параметрами: Rj = 0.045 м; Lb = 0.063 м; Cb = 0.1296 мм; tp =

Динамическая система, изображѐнная на рис. 1 имеет следующие параметры: L = 0.9 м; l = 0.6 m; M = 60 кг. Дисбаланс задавался как U = e * M, где e (мм) = G/ωmax, ωmax = 2010.62 рад/с. Величина G задаѐтся согласно стандарту ISO 1940 и может меняться от 2.5 до 5. В нашем анализе G = 2.5.

В качестве смазки использовалось масло ISO VG46 Shell. Вязкость смазки считалась постоянной. Для каждой скорости вращения вала определялась ―средняя‖ температура, на основе которой рассчитывалось значение вязкости. Температура подачи смазки – 49 С0.

Результаты расчѐтов показали, что имеет место несимметричный нагрев вала как для случая прямой, так и для обратной прецессии. Более того, рассчитанный тепловой поток имеет синусоидальную форму и может быть представлен в форме: Ф(φ) = Фcos(φ + A).

На рис.3 представлена зависимость амплитуды теплового потока как функции скорости вращения вала. Как можно видеть из приведѐнного графика, максимального значения амплитуда достигает при 19500 об/мин. Этот результат хорошо согласуется с экспериментальными данными, согласно которым вибрации, вызванные несимметричным нагревом вала наиболее опасны для скоростей вращения вала, близких к первой критической. В нашем примере первая критическая равна приблизительно 19120 об/мин. Результаты показали, что положение точки на поверхности вала, которая греется сильнее всего, находится рядом с точкой, которая в среднем находится ближе к вкладышу. Но эти точки никогда не совпадают. Этот факт подтверждает, что эффект несимметричного нагрева вызван не трением твѐрдых тел, как в эффекте Ньюкирка (Newkirk effect) [5], а термодинамическими причинами.

Рисунок 3. Амплитуда осреднѐнного теплового потока как функция скорости вращения вала

Материал взят из: Казанская наука. №3 2011г