Мерный метод в 3-мерной кристаллографии

§ 1. ОБЛАСТЬ ПРИВЕДЕНИЯ ВОРОНОГО

Рассмотрим произвольный приведенный четырехсторонник Зеллинга. Обозначим его векторы через а, Ь, с и (1. Такое обозначение векторов четырехсторонника можно осуществить 24 и только 24 различными способами, и каждому изменению обозначения векторов четырехсторонника Зеллинга отвечает поворот 1 или 2-го рода тетраэдрического символа в себя. Так получаем группу С поворотов тетраэдрического символа в себя, рассматриваемого как правильный симплекс.

Совершим такую подстановку группы С, чтобы одно из наибольших значений приведенных параметров Зеллинга было расположено на правом верхнем ребре символа, а одно из наибольших значений параметров, расположенных на прилегающих к нему ребрах, находилось на нижнем ребре. Тогда будем иметь неравенства:

0^/с, к^п, к^к,            Н^т,

и наоборот. Так каждой решетке можно сопоставить точку области V конуса К, которая определяется этими неравенствами и которую мы будем называть областью приведения Вороного.

Рассмотрим какую-либо точку М внутри области V, т. е. точку, удовлетворяющую строгим неравенствам. Очевидно, что в области 5 приведения Зеллинга, т. е. области, задаваемой неравенствами

£^0, /г^О, &<^0, /<0, /?г^0, тг<;0,

существует ровно 24 эквивалентные ей точки, но 23 из них не принадлежат области V. Ввиду того что’ точка М имеет все координаты, отличные от нуля, параллелоэдр В соответствующей ей решетки представляет собой 14-гранник, а в такой решетке имеется лишь один приведенный четырехсторонник Зеллинга, и, следовательно, эту решетку можно представить не более чем 24 точками области приведения Зеллинга. Таким образом, получаем, что внутри области эквивалентных точек быть не может, т. е. область V есть фундаментальная область приведения.

Все преобразования С суть некоторые преобразования из группы {С}. Так как область V фундаментальна для группы {С?}, то области, получаемые из нее преобразованиями С, попарно не имеют общих внутренних точек, причем они в своей совокупности заполняют всю область

приведения Зеллинга.

Области 5 и V суть бесконечные выпуклые шестимерные гоноэдры (многогранные углы) с вершиной в начале, причем V есть 24-я часть области 5. Ввиду того что из всех подобных друг другу решеток можно рассматривать только одну, а подобным друг другу решеткам, очевидно, соответствуют точки g, /г, к, I, т, /г, лежащие на одном луче, исходящем из вершины О конуса К, дальше достаточно везде рассматривать пятимерные сечения этих гоноэдров пятимерной плоскостью П —п= — 1), проходящей через концы векторов —ех, —е2, —е3, —е4, —е5, —еб. Эти сечения V и V будут пятимерными симплексами. Вершинами симплекса V Вороного будут точки

е1 + е2 + е4 + е5 е1 + е2 + е3 + е4 + е5 + еб (Л ч «1, е4,    е6,       ^          ^

Действительно, симплекс С вершиной — *Г,1 + е2 + е3 + е4 + еб 4ев и осно_

ванием —в!, —е2, —е4, —е5, —еб соответствует всем точкам симплекса б7, для которых координата к наибольшая. А чтобы к было больше g, т, I в трехмерном симплексе с вершинами —е1? —е2, —е4, —е5, точка должна

принадлежать тому тетраэдру с вершиной в центре — 01 02 ^ 04 05 этого

симплекса, основанием которого является его грань —е1? —е4, —е5. Если мы произведем какое-либо преобразование С? из {С}, то область 5 перейдет в некоторую ей эквивалентную область 5", причем эти области будут совпадать, если С? £ С, и не будут иметь общих внутренних точек, если

с (ЕС.

Действительно, пусть {С?} = С,+СС?2+С,С?з+. . . , тогда если то 5 преобразуется в себя, так как СС=С, и, следовательно, комплекс 24 областей Ус перейдет в себя.

Если 6?(£С, а, например,     то 5 перейдет в совокупность

такую, что ни одна из ее областей не входит в_УсРассмотрим четырехмерную г^ань симплекса £, построенную на векторах —е1? —е2, —е4, —еб, —еб, и подстановку

0

1

0

1

°

0

1

1

0

0

0

0

0 —

-1

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

0

0

0 —

-1

0

0

1/

подпись: индуцированную подстановкой g~

Эта подстановка преобразует грань в себя, оставляя ее вершины 2, 4 и 6 на месте и переставляя между собой вершины 1 и 5. Вершину 3 эта подстановка С? преобразует в точку, которая после нормировки на плоскость П будет иметь координаты (—у, ~у> у* —У’ —у» у)Но эта последняя точка лежит вне симплекса так как две из ее координат положительны, и, следовательно, подстановка С? преобразует симплекс Зеллинга 5 в эквивалентный ему симплекс Зеллинга 5′, смежный с ним по четырехмерной его грани (1, 2, 4, 5, 6).

Итак, конус К разбивается на приведенные области Зеллинга, которые попарно не имеют общих внутренних точек и смежны целыми гранями.

Назовем репер, составленный векторами  е1?       е4, У3=—е5,

^4= — е6, — в!—е2—е4— е5, У6 = — ех—е2 — е3—е4— е5— вб, рвПврОМ Вороного, а координаты р1? р2, р3, р4, р5, р6 — координатами Вороного [40] и рассмотрим точки в координатах Вороного. Координаты Зеллинга g, /г, ку /, т, п выражаются через координаты Вороного по формулам:

8 Рі Рб Рб> ^  Рб Рб» ^         Ре» ^  р2 Рб Рб»

т = рз р5 р6, п = р4 рв

и обратно

p1 = h — g, р2 = к— рз = /г — т, р4=к — п, р5 = к — к, р6 — —к.

Материал взят из книги Кристаллографические этюды (Браве О.)