Рубрика: Геометрия

Применение с?-инвариантных разбиений {0} конуса к к теории конечных групп целочисленных матриц и к разысканию типов браве ^-мерных решеток

МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ МАТРИЦ Геометрической кристаллографией можно считать все то, что математически следует из правильности структуры монокристалла. Большинство из этих следствий, как было показано выше, тесно связаны с теорией конечных групп целочисленных матриц, что впервые было подчеркнуто Бибербахом [32] и Фробениусом [37]. Такой подход особенно необходим при переходе от 3-мерной к тг-мерной кристаллографии, в которой уже трудно обходиться…

Read More »

Параметры зеллинга. символ делоне

Параметры Зеллинга более однородны, чем параметры Лагранжа— Гаусса [21]. Пусть с! — такой вектор, что а+Ь+с+с1=0, т. е. с1 — сумма векторов а+Ь+с, взятая с обратным знаком. Мы будем называть совокупность четырех векторов а, Ь, с, (1 четырехсторонником Зеллинга. Если квадраты длин векторов а, Ь, с, с1 обозначить через а2, Ъ2, с2, й2, а через g, А, к, 1,т,п —…

Read More »

Взаимно-однозначное соответствие между метриками реперов и положительными квадратичными формами

Положительной квадратичной формой называется такая форма, которая при всех наборах (хг, х2,. . .,хп) значений переменных положительна и только при наборе (0, 0, . . ., 0) равна нулю. Метрическая форма / репера <§ положительна. Действительно, так как а1? а2, . . ., ап не компланарны, то вектор а1#14-а2я2+ • • -+аА имеет нулевую длину, только если одновременно х1=х2=. ….

Read More »

Некоторые леммы об элементах симметрии решетки

Осью симметрии решетки называют любую ось, после поворота вокруг которой решетка совмещается сама с собой. Пусть после поворота вокруг оси а решетка совмещается сама с собой и пусть М — какая-нибудь точка решетки, не лежащая на этой оси, Р — плоскость, проходящая через точку М и перпендикулярная к этой оси. При всех поворотах вокруг этой оси, совмещающих решетку с собой,…

Read More »

Приведенный четырехсторонник

Область Дирихле решетки в общем случае является четырнадцатигранником и имеет восемь шестиугольных граней. Рассмотрим четыре из этих граней (рис. 12), которые попарно не смежны друг с другом, и обозначим через А, В, С, D центры тех Dv которые смежны с данным D± по этим граням. Векторы О А, ОВ, ОС, OD образуют основной четырехсторонник Зеллинга, рассматриваемой решетки. Четырехсторонник, связанный таким…

Read More »

Векторы смежности. неравенство коркина и золотарева

Заметим прежде всего, что теорема 1 гл. 2 об области Дирихле верна и в тг-мерном случае. Вектор Ь=ОМ решетки Л, идущий из точки О в центр М произвольной области Дирихле Бм, смежной с областью по (п—1)-мерной грани, называется вектором смежности точки О относительно решетки Л. Очевидно, что любой кратчайших вектор решетки (ее минимум) является ее вектором смежности. Действительно, пусть ОЫ…

Read More »

Вывод 7 голоэдрий

Определение. Полная группа поворотов решетки вокруг некоторой ее точки О, совмещающая решетку с собой, называется полной точечной группой решетки, или голоэдрией решетки. Голоэдрии вполне задаются набором своих поворотов 1-го рода, т. е. ‘Связкой своих осей, так как всякая решетка совмещается с собой отражением в ее точке, которое является движением 2-го рода, и поэтому все ее движения 2-го рода суть движения…

Read More »

Алгорифм приведения зеллинга на символе делоне

Если решетка задана таким четырехсторонником, для которого одно или несколько из чисел g, /г, к, I, т, п положительны, т. е. четырехсторонник не приведенный, то можно перейти от этого четырехсторонника а, Ь, с, с1 к другому, у которого сумма 2=а2+Ь2+с2+й2 меньше, чем у заданного. Действительно, пусть, например, g 0, т. е. угол между Ь и с острый. Заменим тогда четырехсторонник…

Read More »

Теорема жордана

Теорема 5. Число неэквивалентных конечных групп /г-мерных целочисленных матриц меньше некоторой константы, зависящей только от п. Две конечные группы целочисленных унимодулярных матриц называются эквивалентными, если они описывают одни и те же повороты в себя некоторой решетки, но в разных ее основных реперах. Пусть 5 — матрица, переводящая первый из этих реперов во второй. Тогда если первая группа состоит из матриц…

Read More »

14 Типов браве решеток

Браве заметил, что в каждой решетке (исключая гексагональную) может быть выбран параллелепипед решетки (может быть не основной) г полная группа поворотов которого совпадает с голоэдрией решетки. Наименьший такой параллелепипед, а если возможен такой прямоугольный, то наименьший из таких прямоугольных, называется параллелепипедом Браве решетки. Найдем эти параллелепипеды для каждой (кроме гексагональной) голоэдрии. Триклинная голоэдрия. За параллелепипед Браве принимается любой основной параллелепипед…

Read More »