Бюллетень с тремя и более вариантами

В этом параграфе будут проанализированы процедуры голосования, осуществляющий  коллективный  выбор  в  случае,  когда  избирательный бюллетень  содержит  три  и  более  варианта.  Эквивалентность  различных процедур, которая имела место в случае, когда избирательный бюллетень содержал дна варианта, здесь уже нарушается, и возникает все многообразие процедур, описанных выше в главе 3. Кроме того, в отличие от случая 2 здесь возможны различные типы инструкций избирателям: инструкция может требовать от избирателя осуществить индивидуальный выбор, либо же упорядочить все приведенные в бюллетене варианты. Таким образом, в силу того, что в результате действия процедуры всегда требуется осуществление коллективного выбора Y*, здесь возникает два типа процедур голосования: процедуры типа ВВ и процедуры типа УВ.

Как было указано в главе 0, анализ процедур типа ВВ отличается, от анализа процедур типа УВ, Поэтому примеры анализа процедур типа ВВ и УВ

далее рассматриваются порознь.

7.3.1. Примеры анализа  процедур  типа  ВВ. Приведем примеры анализа процедур  голосования,  использующих  в  качестве  промежуточного  этапа

построение вспомогательной коллективной шкалы. Как и ранее рассмотрим два основных правила осуществления коллективного выбора по этой шкале: правило

выбора q лучших, которое при q == 1 приводит к экстремизационному правилу, и правило надпорогового выбора. Необходимо отметить, что при использовании процедуры выбора q лучших вариантов могут возникнуть сложности, связанные с возможностью возникновения равнозначности между вариантами, т. е. может

оказаться, что несколько вариантов получили одинаковое число голосов и имеют одинаковые основания для включения в коллективный выбор. Для простоты будем далее считать, что такие равнозначности но возникают.

Как и ранее в § 7.2 эти правила будут рассмотрены при различных ограничениях, налагаемых организатором голосования на индивидуальные выборы избирателей (случай 1 — одиночный выбор, 2 — простейший множественный выбор, 3 множественный выбор общего вида). Результаты анализа процедур типа ВВ сведены ниже в таблицу 7.2. (См. стр. 182.)

Непосредственно видно, что обе рассматриваемые процедуры (выбор q лучших и надпороговый выбор по шкале «число голосов») во всех трех случаях (случаи 1, 2 и 3) удовлетворяют характеристическим условиям нейтральности к избирателям и вариантам, ненавязанности и принципу Парето.

Выполнение характеристических условий монотонности и локальности изучим отдельно.

Условие монотонности. Покажем на примере, что процедура выбора q лучших вариантов в случае одиночного выбора (случай 1) не удовлетворяет условию монотонности. Действительно, при профиле индивидуальных выборов

избирателей, изображенном па рис. 7.5, а, по правилу

а)

б)

Рис. 7.5

экстремизации (т. е. при q = 1) выбирается вариант х, а при профиле, изображенном на рис. 7.5, б, выбирается вариант v, несмотря на то, что множество избирателей, предпочитающих вариант х, увеличилось.

Обратим  внимание,  что  условие  слабой  монотонности  в  случае 1

выполняется.

В случаях 2 и 3 (как следует из таблицы 7.1) процедура выбора q лучших не удовлетворяет характеристическому условию монотонности уже на двух вариантах. Следовательно, тем более, условие монотонности не выполняется при большем числе вариантов.

Процедура надпорогового выбора удовлетворяет условию монотонности как в случае 1, так и в случаях 2 и 3. Действительно, если вариант х принадлежит коллективному выбору, т. в. f(x)> к, то он будет принадлежать коллективному выбору  и  в  случае,  когда  множество  голосующих  за  него  избирателей расширится (вне зависимости от того, как изменятся их мнения относительно других вариантов).

Условие  локальности.  Нетрудно  убедиться,  что  процедура  выбора  q лучших вариантов не удовлетворяет условию поточечной локальности, но удовлетворяет условию множественной локальности, в то время как процедура

надпорогового  выбора  удовлетворяет  условию  поточечной  (а  значит,  и множественной) локальности.

Условия  замкнутости  свойств  функций  выбора  относительно  процедур

голосования. Напомним, что для того, чтобы проанализировать процедуру на выполнение условий замкнутости того или иного свойства функции выбора, необходимо, предположив выполнение этого свойства для функций выбора избирателей Сi(Х), i = 1, 2,… . .., N, проверить, удовлетворяет ли коллективная функция выбора С*(Х) этому же свойству.

Результаты проверки рассмотренных выше процедур голосования на выполнение условий замкнутости сведены ниже в правую часть таблицы 7.2. Заполнение каждой клетки таблицы требует самостоятельного исследования. В качестве примеров приведем рассуждения, позволяющие заполнить несколько клеток таблицы.

Рассмотрим вначале процедуру выбора q лучших вариантов в случае 1, когда инструкция требует от избирателя отметить в бюллетене ровно один вариант, а агрегирующее правило включает в коллективный выбор q лучших

вариантов  по  шкале  «число  голосов».  Если  q=1,  то  получаем  обычное экстремизационное правило.

Пусть избиратель осуществляет свой индивидуальный выбор на основании некоторого строгого упорядочения вариантов. При предъявлении Х ⊆ А каждый

избиратель в качестве индивидуального выбора из этого X указывает лучший в своем упорядочении вариант из числа предъявляемых. Таким образом, достаточно указать упорядочение всех вариантов из А для каждого избирателя, что и определяет индивидуальные функции выбора избирателей. Функции выбора, построенные таким образом, всегда удовлетворяют свойству К.

180

Покажем  на  примере,  что  если  функции  выбора  избирателей удовлетворяют свойству К, коллективная функция выбора может не удовлетворять К. Пусть множество А содержит варианты {х, у, z, v). На рис. 7.6 показаны  упорядочения  вариантов  из  множества  Л,  которые  генерируют функции выбора избирателей И1, И2, …, И5. При предъявлении X = {х, у, z, v} варианты получают следующие числовые оценки по вспомогательной коллективной шкале: f(x) =2, f(у)= 1, f(z)=l, f(V)=1, т. е. коллективный выбор Y*

= =С*(Х)={х}. При предъявлении X’ = {х, у} оценки вариантов по вспомогательной коллективной шкале изменятся и будут равны: f(x) = 2, f(у) = 3, т. е. Y* = С*(Х’)= {у}. Следовательно, функция выбора С*(Х) не удовлетворяет свойству К. Таким образом, в случае одиночного выбора свойство К не замкнуто относительно процедуры выбора q лучших вариантов по шкале «число голосов». Из этого же примера, изображенного па рис. 7.6, следует, что свойства Н и О не замкнуты относительно данной процедуры.

Рис. 7.6

Покажем па примере, что свойство С не замкнуто относительно этой процедуры. Пусть избиратели И1, И2, …, И5 имеют функции выбора Сi(Х), i=1, .. .,

5, изображенные на рис. 7.7. Функция выбора С* (X) построена как функция,

выбирающая q = 1 лучших вариантов

Рис. 7.7

Действительно,  по  вспомогательной  коллективной  шкале  «число голосов», Всe функции выбора Сi(Х), i=1, …, 5 удовлетворяют свойству С, в то время как коллективная функция выбора С*(Х) не удовлетворяет свойству С.

Действительно, у∈С*{{х, у)), y∈C*({y,z}), но у∉С*({х, y,z})

Таблица  7.2.  Процедуры типа ВВ: бюллетень содержит три и более варианта

Инструкция

избирателю

Агрегиру

ющее правило

Характеристические условия

Условия

замкнутости свойств

Условия нейтральности к избирателям

Условие нейтральности к вариантам

Условие ненавязанности

(суверенности)

Условие монотонности

Принцип Парето

Локально

сть

S

К

H

M

C

O

1. Одиночный

выбор

Выбор q

лучших по шкале

+

+

+

+

Множеств

енная

*

*

Надпорог

овый выбор

+

+

+

+

+

Поточечн

ая

*

+

*

2.

Простейший множественный выбор

Выбор q

лучших по шкале

+

+

+

+

Множеств

енная

+

+

+

+

Надпорог

овый выбор

+

+

+

+

+

Поточечн

ая

+

+

+

+

+

+

3. Общий

случай множественного выбора

Выбор q

лучших по шкале

+

+

+

+

Множеств

енная

Надпорог

овый выбор

+

+

+

+

+

Поточечн

ая

+

+

+

Примечание.  Т.  к.  не существует функций одиночного выбора, удовлетворяющих  свойству S или  свойству  М. проверка на выполнение условий замкнутости в этом случае лишена смысла. Соответствующие клетки таблицы помечены значком*.

Проверка замкнутости свойств монотонности (М) и сумматорности (S) относительно правила выбора q лучших и правила надпорогового выбора в одиночном случае (случае 1) лишена смысла, так как не существует функций выбора, удовлетворяющих свойству М (соответственно свойству S), таких, что

на каждом предъявлении X ⊆ А выбирается ровно один вариант.

Аналогично  проводится  анализ  на  выполнение  условий  замкнутости  с

целью заполнения  остальных  строк  таблицы  7.2.  Этот  анализ  здесь  не приводится, а  заполнение клеток  таблицы предлагается читателю в  качестве

упражнения." Как и прежде, в этой таблице 7.2 знак «плюс» означает, что данное условие выполняется, знак «минус»—что данное условие нарушается. Кроме

того, некоторые клетки не представляется возможным заполнить в силу того, что не существует функций выбора, которые на всех предъявлениях выбирают равно один вариант, и при этом удовлетворяют свойству М или свойству S.

Как видно из таблицы 7.2 только одна из рассматриваемых процедур типа ВВ (а именно, процедура надпорогового выбора в простейшем множественном случае) удовлетворяет всем условиям (как характеристическим, так и условиям замкнутости). Однако предположение о том, что поведение всех избирателей

соответствует этому случаю 2, является достаточно жестким и на практике реализуется редко.

Обратим внимание, что наиболее распространенная процедура выбора q

лучших вариантов по шкале «число голосов» (к которой при q = 1 относится обычная экстре-мизационная процедура) при одиночном выборе нарушает условия замкнутости всех свойств функций выбора. Такие нарушения логики выбора привлекают внимание к другим процедурам голосования, отличным от процедуры выбора д лучших по шкале (в частности, от экстре-мизационной процедуры).

Перейдем к примерам анализа процедур голосования типа УВ.

7.3.2. Примеры анализа  процедур типа  УВ. В отличие or процедур типа

ВВ, примеры анализа которых приведены в разделе 7.3.1, в процедурах типа УВ

инструкция  требует  от  избирателя  упорядочить  по  предпочтительности предъявленные ему в избирательном бюллетене варианты. Обзор процедур типа УВ, приведенный в главе 3, показывает,  что такое  изменение  инструкции избирателю приводит к возникновению большого количества разнообразных процедур голосования.

При анализе процедур типа УВ проводится проверка на выполнение тех же характеристических условий, что и процедур типа ВВ. Вместе с тем здесь возникает ряд специфических характеристических условий (см. § 6.4): принцип

Кондорсе, транзитивность Кондорсе, согласованность и условие вложенности в множество Кондорсе или Парето. Условия замкнутости в том виде, в каком эти условия формулируются для процедур типа ВВ, в случае процедур типа УВ использоваться не могут, так как индивидуальные упорядочения избирателей Рi и коллективное решение  Y* являются объектами разной природы.

Нетрудно убедиться, что все однонаправленные процедуры типа УВ, рассмотренные в главе 3 удовлетворяют характеристическим условиям нейтральности  к  вариантам  и  к  избирателям,  условию  ненавязанности  и принципу единогласия. Таким образом, практически все однонаправленные процедуры, приведенные в главе 3 (как типа ВВ, так и типа УВ) удовлетворяют этим характеристическим условиям. Нарушения этих условий могут возникать в итерационных процедурах с обратными связями.

Приведем примеры анализа процедур типа УВ на выполнение условий монотонности и слабой монотонности.

Покажем, что процедура Борда не удовлетворяет условию монотонности. Пусть имеется пять вариантов X = {х, у, z, v, w}, и три избирателя И1, И2  и И3, профиль индивидуальных  упорядочений  которых  изображен  на

Рис. 7.8

рис. 7.8, а. Согласно процедуре Борда минимальную сумму ранговых мест имеет вариант х, т. о. Y* = {x}. Пусть теперь профиль индивидуальных упорядочений изменился  следующим  образом:  избиратель  Из  улучшил  свое  мнение относительно  варианта  х  и  поставил  его  на  четвертое  место  в  своем упорядочении, а избиратели И1 и И2 поставили вариант у на второе место, сохранив первое место за вариантом х (рис. 7.8,б). В этом профиле уже вариант у имеет минимальную сумму ранговых мест, и поэтому Y* = {у}, т. е. условие монотонности нарушается.

В то же время процедура Борда удовлетворяет условию слабой монотонности.  Согласно  условию  слабой  монотонности,  если  вариант  х

принадлежал коллективному выбору Y* при одном профиле индивидуальных упорядочений избирателей {Pi}, то в случае, если хотя бы в одном упорядочении положение варианта х улучшилось, а во всем остальном профиль остался без изменений, вариант х должен остаться в коллективном выборе. Действительно,

если x ∈Y*, то r*x <  r*y для всех у ∈ X. При улучшении положения варианта х в одном из упорядочений значение r*x уменьшается, а остальные значения  r*y для всех у ∈  X не уменьшаются. Следовательно, соотношение r*x<r*y  для всех у ∈

X сохраняется.

Несмотря на то, что условие слабой монотонности представляется чрезвычайно естественным, существуют и применяются на практике процедуры,

нарушающие не только условие монотонности, но и условие слабой монотонности. Например, такими процедурами являются процедуры Нансона и Доджсона.  Нарушение  процедурой  Нансона  условия  слабой  монотонности

показано ранее в главе 6 в разделе 6.2.3.

Перейдем к проверке процедур типа УВ на выполнение специфических условий:  принципа  Кондорсе,  транзитивности  Кондорсе,  согласованности  и

вложенности в множество Парето (условие Парето-оптималъности). Как л ранее, здесь  будут  приведены  примеры  анализа  не  всех,  а  лишь  некоторых распространенных процедур типа УВ, описанных в главе 3. Результаты анализа

всех процедур типа УВ на выполнение специфических характеристических условий сведены ниже в таблицу 7.3.

Приведем примеры заполнения некоторых клеток таблицы 7.3. Покажем, например, что процедура Борда не удовлетворяет транзитивности Кондоре. Согласно профилю индивидуальных упорядочений избирателей, приведенному на  рис.  7.9,  в  коллективный  выбор  согласно  процедуре  Борда  включается вариант х, хотя вариант у доминирует над этим вариантом по мажоритарному графу М (т. к. два избирателя из трех предпочитают вариант у варианту х).

Приведем рассуждения, показывающие, что плюралитарная процедура удовлетворяет  условию  оптимальности  по  Парето.  Предположим,  что  это условие не выполняется. Тогда для варианта х, принадлежащего коллективному

выбору, должен существовать вариант у, более предпочтительный, чем вариант х для всех избирателей. Но

Таблица  7.3.  Результаты анализа ряда процедур типа УВ

Принцип

Кондорсе

Транзитивность

Кондорсе

Согласованность

Условие

вложенности в множество

Парето

Процедура Нансона

+

+

Процедура Коупленда

+

+

Процедура,  использую

щая  приближенную триангуляцию матрицы

+

+

Процедура выбора минимальных  недоминируемых подмножеств

+

+

Процедура Фишберна

+

+

Процедура Борда

+

+

Процедура Доджсона

+

+

Плюралитарная  процедура

+

+

тогда согласно плюралитарной процедуре вариант у должен принадлежать коллективному выбору, а вариант х — нет. Это противоречие доказывает утверждение.

В отличие от этого, процедура выбора минимальных недоминируемых подмножеств условию оптимальности по Парето не удовлетворяет. Покажем это на примере. На рис. 7.10 представлен профиль индивидуальных упорядочений

избирателей и мажоритарный граф, построенный по этому профилю. Согласно анализируемой процедуре Y* = {х, у, z, v}, хотя вариант у, принадлежащий коллективному выбору, не  является парето-оптимальным, так  как  доминируется

вариантом х во всех трех упорядочениях.

Процедура Коупленда удовлетворяет принципу Кондорсе, так как если в мажоритарном графе имеется победитель по Кондорсе х ∈  X, то число дуг, отходящих от этой вершины х на

мажоритарном графе, равно числу вариантов в предъявлении X, т. е. s(x)=X и

s(y)< <s(x)  для всех у ∈ Х{х}. Таким образом, победитель

Рис. 7.10

по Кондорсе (если он существует) принадлежит коллективному выбору.

Мы привели выше лишь примеры анализа некоторых правил типа УВ на выполнение  тех  или  иных  характеристических  условий.  При  использовании

иных процедур выполнение характеристических условий может быть про-верено аналогичным образом, но каждый раз такая проверка представляет собой самостоятельную исследовательскую задачу.

* * *

Итак,  подбор  адекватной  для  данной  конкретной  ситуации  процедуры голосования  —  задача  сложная,  требующая  всестороннего  исследования

различных свойств анализируемых процедур голосования. Еще раз подчеркнем,

что не существует абсолютно лучшей процедуры голосования, т. е. каждая процедура  удовлетворяет  некоторому  набору  условий  и  не  удовлетворяет

остальным. Поэтому подбор процедуры голосования в конкретной практической ситуации  является  сложной  творческой  задачей,  решение  которой  требует

четкого представления об особенностях каждой из возможных процедур. В связи с  этим  привлечение специалистов к  подбору  процедур  и  проведению голосования представляется весьма целесообразным.

Материал взят из книги Голосование в малых группах: процедуры и методы сравнительного анализа (Вольский В.  И.,  Лезина  З. М.)