Бюллетень с двумя вариантами

Рассмотрим порознь три случая, которые различаются указанными выше тремя типами поведения избирателей: одиночный выбор, простейший и общий

случаи  множественного  выбора.  Применительно  к  ситуации,  когда  А  ≤  2,

инструкции  избирателям  будут  далее  детализированы,  так  же  как  будут

детализированы и рассматриваемые процедуры: выбор q лучших по шкале и надпороговый выбор. Все результаты, полученные в этом параграфе, сведены

ниже в таблицу 7.1.

7.2.1. Одиночный выбор. Итак, избирательный бюллетень содержит один или два варианта. Напомним, что здесь по инструкции избиратель должен отметить один (и только один) лучший с его точки зрения вариант. При этом

инструкция запрещает отмечать одновременно оба варианта или не отмечать ни одного варианта, т. е. воздерживаться при голосовании. В соответствии с такой инструкцией в  случае, если  бюллетень содержит один  вариант, он  окажется

коллективно выбранным единогласно, и поэтому проводить голосование при А

= 1 и такой инструкции не требуется.

Предположим теперь, что общее число избирателей N нечетно и что исходно требуется, чтобы коллективно был выбран ровно один вариант, т. е.

должны быть исключены случаи, когда в коллективный выбор могут попасть оба варианта, содержащиеся в бюллетене, или когда коллективный выбор пуст. Для

того чтобы такое условие было выполнено, надо в правиле выбора q лучших по шкале положить q = 1 (т. е. применить экстремизационное правило), а в правиле надпорогового выбора принять порог, равный [N/2].

Нетрудно убедиться, что при указанных ограничениях в случае, когда предъявление состоит из двух вариантов, все три агрегирующих правила выбора при любых профилях индивидуальных выборов избирателей включают в коллективный выбор один и тот же вариант, т. е. являются эквивалентными.

Обратим внимание, что,  в случае когда предъявление  состоит  из  двух вариантов, требование отметить в избирательном бюллетене один лучший вариант равносильно требованию строго упорядочить варианты согласно предпочтениям избирателя. Отмечая в избирательном бюллетене один из двух вариантов, избиратель тем самым фактически ставит его на первое место, а оставшийся неотмеченный вариант — на второе. Поэтому в этом случае можно рассматривать также и процедуры типа УВ. Элементарная проверка позволяет убедиться, что все правила, осуществляющие коллективный выбор по индивидуальным упорядочениям избирателей (правило Борда, плюралитарное правило, правило Фишберна, правила, использующие понятие собственного вектора, и др.) приводят в этом случае  к  коллективному  выбору,  который  совпадает  с  выбором  по  трем правилам, использующим шкалу «число голосов», т. е. в этом случае все описанные в данной книге однонаправленные процедуры голосования эквивалентны.

Поэтому в случае одиночного выбора для исследования однонаправленных процедур  голосования  на  выполнение  характеристических  условий  и  па

замкнутость  тех  или  иных  свойств  достаточно  внять  любую  процедуру, например, процедуру выбора, использующую экстремизационное правило по шкале «число голосов».

Покажем,  что  эта  процедура  удовлетворяет  всем  шести  введенным  в главе 6 характеристическим условиям.

Действительно, условия нейтральности по отношению к избирателям и по отношению к вариантам выполняются потому, что ни один из двух вариантов и никто из N избирателей не выделяется как-либо ни инструкцией, ни правилом агрегирования, для которого существенно лишь число поданных голосов, и не играет никакой роли то, кто из избирателей входит конкретно в это число.

Проверим  выполнение условия  монотоности. Пусть  X  =  {х,  у}  и  при данном профиле индивидуальных выборов избирателей имеет место f(x)>f(y), т. е. Y*= = {х}. Пусть один или несколько избирателей, ранее не отмечавших

вариант х в своих бюллетенях, при повторном голосовании выбрали его. В силу требования, что избиратель может отметить в бюллетене только один из двух вариантов,  число  отметивших  вариант  у  в  своих  бюллетенях  уменьшилось.

Таким образом, при повторном голосовании число f(х) увеличилось, а число f(y) уменьшилось, т. е. тем более сохраняется f(x)> f(y) и Y* = {x}. Итак, расширение множества избирателей, голосующих  за  вариант  х,  сохраняет  этот  вариант  в  коллективном  выборе.

Следовательно, условие монотонности выполняется.

Если все избиратели отметили в своих бюллетенях вариант х (т. е. если f(x)

= N), то Y* = {х}. Если ни один из избирателей не отметил вариант х (т. е. если

f(х)=0), то Y* = {у}, т. e. х ∉ Y*. Следовательно, выполняются положительный и

отрицательный принципы Парето.

Выполнение условия ненавязанности (суверенности) обеспечивается тем,

что коллективный выбор зависит только от выполнения неравенств f(x)> f(y) или f(y)> > f{x}, а эти неравенства целиком зависят только от профиля индивидуальных выборов избирателей, причем оба случая равновозможны.

И последнее, анализируемая процедура является поточечно локальной, потому что для решения вопроса о том, включать или не включать данный вариант  в  коллективный  выбор  при  указанных  ограничениях,  достаточно

подсчитать число голосов, поданных за этот вариант, вне зависимости от числа голосов, поданных за второй вариант. Это следует из того, что f(x)+f(y) = N.

Итак, данная процедура исследована на выполнение шести основных характеристических условий.

Как это было показано выше, в анализируемом простейшем случае рассматриваемая  процедура  эквивалентна  процедурам  типа  УВ.  Легко убедиться, что специфические характеристические условия для процедур типа

УН  (условие  Кондорсе,  транзитивность  Кондорсе  и  согласованность  по

Кондорсе) ташке выполняются.

Перейдем к проверке анализируемой процедуры голосования па выполнение  условий  замкнутости  свойств  функций  выбора.  По  профилям

индивидуальных выборов избирателей на каждом возможном предъявлении {х, у}, {х} или {у} определяется согласно экстремизационной процедуре коллективный выбор Y* ⊆  X, т. е. генерируется коллективная функция выбора

С* (X). На предъявлении X = {х, у} коллективный выбор (т. е. значение функции выбора С*({х, у}) вырабатывается процедурой голосования, а из того, что Сi({x})= {х}, Ci({y})= {у} для всех i=l, …, N, следует, что С*({х))={х}, С*({у})={у}.

Проверка  показывает,  что  в  рассматриваемом  случае  свойства наследования (Н), согласия (С), отбрасывания (О), константности  (К), монотонности (М) и сумматорности (S) замкнуты относительно экстремизационной процедуры выбора лучших по шкале «число голосов» (а значит, в силу эквивалентности процедур при данных  ограничениях,  н  относительно  всех  остальных  однонаправленных процедур).

Покажем  ото  на  примере  свойства  Н.  Для  доказательства  того,  что свойство  Н  замкнуто  относительно  данной  процедуры  голосования,  надо

показать, что если функции выбора избирателей Ci(X) удовлетворяют свойству Н,  то  и  коллективная  функция  выбора  С*(Х)  также  удовлетворяет  этому свойству. Действительно, пусть для определенности i-й избиратель из предъявления X = {х, у} выбирает вариант х, т. е. Ci({х, y})= {х}. Согласно свойству наследования при отбрасывании невыбранного варианта, т. е. варианта у, выбранный вариант, х должен остаться в выборе, т. е. Сi({х})= {x}, что и имеет место. Аналогично проверяется выполнение свойства наследования коллективной функцией выбора С*(Х).

Проверку того, что функция выбора, определенная на двух вариантах (при предположении, что на любом предъявлении выбирается ровно один вариант), удовлетворяет всем остальным свойствам, предоставляем читателю в качестве упражнения.

Таким образом, в рассмотренном выше случае осуществления коллективного выбора из двух предъявленных вариантов в силу жесткости ограничений (все индивидуальные и коллективный выбор должны состоять строго из одного варианта), все однонаправленные процедуры голосования оказались эквивалентными, причем они удовлетворяют как характеристическим условиям (нейтральность к избирателям и вариантам, локальность, принцип Парето  и  т.  д.),  так  и  условию  замкнутости  всех  свойств  функций  выбора (свойств наследования, согласия и т. д.).

7.2.2. Простейший множественный выбор.  Продолжим рассмотрение случая,  когда  |А|  ≤  2,  но  ослабим  теперь  ограничения,  накладываемые  па

действия избирателей инструкцией. Пусть теперь инструкция не требует от них обязательно отметить один из двух предъявленных в бюллетене вариантов: им предоставляется право отметить оба варианта (Yi = {x, у}), отметить один или не

отметить ни одного (Yi = {∅}). Пусть также снимается ограничение на то, что в

коллективный выбор должен попасть ровно один вариант, т, е. в коллективный выбор также может входить один, два варианта, либо ни одного варианта. Однако простейший, множественный выбор предполагает, что избиратель осуществляет свой выбор в соответствии с некоторой функцией выбора, удовлетворяющей свойству  сумматорности  S,  т.  е.  варианты  исходно  разделены  у  него  на

«хорошие» и «плохие».

В этом случае эквивалентность всех однонаправленных процедур нарушается, и каждая процедура уже требует  самостоятельного анализа. Покажем нарушение

Рис. 7.1

эквивалентности процедур голосования (экстремизационной процедуры, надпорогового выбора и выбора q лучших по шкале) па следующем примере. Пусть в голосовании принимают участие 5 избирателей. Их индивидуальные мнения относительно вариантов х и у приведены на рис. 7.1. Здесь знак «плюс» означает, что избиратель относит данный вариант к «хорошим», а остальные варианты — к «плохим».

В этом примере первый избиратель И1 при предъявлении X = {х, у} включает  в  свой  индивидуальный  выбор  оба  варианта,  т.  е.  Y1  =  {х,  у} избиратель И2 не отмечает в избирательном бюллетене ни одного варианта, т. с.

его индивидуальный выбор пуст (Y2={∅}), и т. д. При предъявлении X = {у}

избиратели И1  и И15  включают его в сноп индивидуальные выборы {Y1  = Y5  =

{у}), а у остальных избирателей выбор пуст (Y2 = Y3 = Y4  = = { ∅}).

Варианты х  и  у  имеют следующие числовые оценки по  шкале «число

голосов»,  построенной  по  этому  профилю  индивидуальных  выборов избирателей: f(x) = 3, f(y) = 2. Согласно экстремизационному правилу коллективный выбор Y* состоит из варианта x, т. е. Y* = {х}.

Пусть  в  качестве порога на  шкале  f  задано  значение к  =  1.  Тогда  по правилу надпорогового выбора в коллективный выбор Y* попадут оба варианта х и у, так как f(x)> 1 и  f(y)> 1. Таким образом, Y* = {x, у}. Заметим, что при другом значении к коллективный выбор изменится. Например, при к = 2: Y* = {x}, а при к = 3: Y*

= {∅}.

При использовании правила выбора q лучших вариантов по шкале f при q

= 1

1) коллективный выбор Y* = {х}, а при q = 2 Y* = {x, у}. При q = 1 правило выбора q лучших вариантов эквивалентно экстремизационному правилу (при отсутствии равнозначности между вариантами х и у по шкале «число голосов»).

Поэтому в случае, когда |A| =2, это правило отдельно рассматриваться не будет, и будут исследоваться только два правила — экстремизационное правило и надпороговый выбор.

Итак, как иллюстрирует этот пример, эквивалентные при одиночном выборе правила агрегирования при простейшем множественном выборе могут приводить к различным коллективным выборам.

Исследуем  указанные  выше  процедуры  голосования па  выполнение характеристических  условий  в  случае простейшего множественного выбора. В этом случае обе процедуры  удовлетворяют  условиям  нейтральности  по отношению к избирателям п по отношению к вариантам, так как перенумерация

избирателей  или  переименование  вариантов  приводит  к  тому  же коллективному  выбору. Проверим выполнение условия монотонности

2). Покажем  на  примере,  что  процедура  выбора  лучших  вариантов  по  шкале

«число  голосов»  не  удовлетворяет  условию  монотонности.  Согласно профилю  избирателей, изображенному на рис. 7.2, а, коллективный выбор состоит  из  варианта  х.  Пусть  теперь, профиль  избирателей изменился таким

образом, как это показано па рис. 7.2, б, т.  е.  множество  избирателей, включивших  вариант  х  в  свой  индивидуальный  выбор,  расширилось. Однако,  со

1) Заметим, что установление q = 2 при предъявлении для выбора двух вариантов неинтересно.

2) Здесь необходимо сделать следующее замечание. При использовании правила экстремизации по шкале «число голосов» будем везде далее считать, что в коллективный выбор не могут включаться варианты, не получившие пи одного голоса, т. е. варианты х, имеющие f(x) = 0. В силу этого, если предъявление Х

состоит из одного варианта х, и ни один из избирателей не включил вариант х в свой  индивидуальный  выбор  на  этом  предъявлении,  т.  е.  f(x)  =  0,  то

коллективный выбор считается пустым, т е. Y* = {∅}. гласно этому профилю индивидуальных выборов избирателей, вариант х уже не принадлежит коллективному выбору при экстремизационном правиле.

В то же время процедура надпорогового выбора по шкале «число голосов» удовлетворяет условию монотонности. Действительно, если вариант х принадлежал коллективному выбору при определенном профиле избирателей, то это означает, что число поданных за него голосов f(x) превышало порог к. Если множество избирателей,  отметивших  вариант  х  в  своих  бюллетенях, расширилось,  то  вне  зависимости  от  того,  как  избиратели  проголосуют  за вариант у, вариант х останется в коллективном выборе.

Аналогичными рассуждениями можно показать, что обе процедуры удовлетворяют условию слабой монотонности.

Условие единогласия (принцип Парето) выполняется для обеих процедур, так как если вариант х включен в индивидуальный выбор каждого из избирателей, то согласно этим процедурам он принадлежит и коллективному выбору.

Условие ненавязанности (суверенности) также выполняется, так как в этих процедурах коллективный выбор зависит только от профиля избирателей, и все возможные коллективные решения не имеют априорных преимуществ.

Процедура надпорогового выбора удовлетворяет условию поточечной локальности, так как вопрос о включении данного варианта в коллективный выбор  решается  только  на  основании  индивидуальных  мнений  избирателей

относительно этого  варианта,  и  не  зависит  от  индивидуальных  мнении избирателей относительно другого варианта.

Процедура выбора лучших по шкале «число голосов» не удовлетворяет условию поточечной локальности. Действительно, вопрос о включении варианта в коллективный выбор решается в зависимости от числа голосов, поданных как за этот, так и за другой варианты. Вместе с тем эта процедура удовлетворяет условию множественной локальности 1).

Проанализируем теперь эти процедуры на выполнение условий замкнутости.

В случае простейшего множественного выбора но определению действия избирателя  описываются  функцией  выбора,  удовлетворяющей  свойству

сумматорности S. Следовательно (рис. 6.9), индивидуальные функции выбора избирателей удовлетворяют и свойствам Н, С, О, М и К.

Покажем,  что  при  использовании  экстремизационного правила  выбора

лучших по шкале «число голосов» в том случае, когда функции выбора Ci(X) всех избирателей удовлетворяют свойству сумматорности S, коллективная функция выбора С* (X) всегда удовлетворяет свойству К (и, следовательно, свойствам Н, С и О) и не удовлетворяет свойству М (и, следовательно, свойству S). Действительно, если f(x)> f(y), т. о. С*({х, у})={х}, то при отбрасывании невыбранного варианта у имеем: С*({х}))={х}; если же f(х)=f(у), т. е.  С*({х, у})= = {х, у}, то С*({х})= {x} и С*({у}) = {у}, что доказывает выполнение свойства К.

Покажем, что функция выбора С*(Х) может не удовлетворять свойству М. Пусть f(x)> f(у)> 0. Тогда при предъявлении варианта у имеем С*({y})= {у}. Согласно  свойству  М  вариант  у  должен  принадлежать C*({x,  у}),  однако  в нашем случае имеем С* ({х, у}) = {х} в нарушение свойства М. Итак, функции выбора избирателей Ci(X) всегда удовлетворяют свойствам S,  Н, С, О, К и М, а коллективная функция выбора С* (X) при любых профилях избирателей удовлетворяет свойству К, Н, С и О, и может не удовлетворять свойству М и S. Следовательно, свойства К, Н, С и О выполняются при использовании экстремизационной процедуры.

1) Обратим внимание, что в отличие от случая одиночного выбора, в рассматриваемой ситуации, вообще говоря, уже нельзя представить индивидуальный выбор избирателя в виде строгого упорядочения двух вариантов. Поэтому здесь неприменимы правила агрегирования, использующие в  качестве мнений избирателей строгие упорядочения вариантов (процедуры типа УВ).

Подчеркнем, что, как видно из этого результата, даже в таком простейшем случае, как выбор из двух вариантов, может оказаться, что хотя функции выбора избирателей Ci(X) удовлетворяют всем основным требованиям, предъявляемым к логике выбора, коллективная функция выбора С*(Х) уже нарушает некоторые существенные требования к логике выбора (свойства М и S).

При использовании надпорогового правила выбора по шкале «число голосов» коллективная функция выбора С*(Х) при любом профиле избирателей удовлетворяет свойству S (а значит, и свойствам Н, С, О, К и М). Действительно, если f(x)>k, то вариант х выбирается как при предъявлении X = {х, у}, так и при

предъявлении Х = {х}, а если f(x) ≤ k, то вариант х не выбирается ни из того, ни

из  другого  предъявления.  Следовательно,  свойство  S  выполнено  и  для

коллективной функции выбора. Таким образом, свойство S замкнуто относительно процедуры надпорогового выбора при принятых ограничениях.

7.2.3. Общий  случай  множественного  выбора.  Напомним, что в этом случае уже не предполагается, что функции выбора избирателей обязательно удовлетворяют свойству сумматорности S, они могут быть любыми.

Можно  показать,  что  в  общем случае множественного  выбора

исследуемые  процедуры  голосования  удовлетворяют  тем  же характеристическим условиям, что и в случае простейшего множественного выбора, т. е. для экстремизационного правила, нарушается лишь одно характеристическое условие — условие монотонности.

Проанализируем  эти  процедуры  на  выполнение  условий  замкнутости.

Заметим прежде всего, что  в  случае, когда  |X|  ≤  2,  функции выбора всегда

удовлетворяют  свойству  С,  а  остальным  свойствам  (К,  Н,  О,  М,  S)  могут

удовлетворять либо не удовлетворять.

Экстремизационное правило. Шкала «число голосов». Как и ранее, начнем с анализа зкстремизационного правила по шкале «число голосов». В силу того, что функции выбора, определенные на двух вариантах, всегда удовлетворяют

свойству С, это свойство С замкнуто относительно любой процедуры голосования в случае, когда избирательный бюллетень содержит не более двух вариантов, а значит, это относится и к экстремизационной процедуре.

Покажем,  что  свойство  К  замкнуто  относительно этой  процедуры.

Действительно,  предположив  выполнение

173

свойства К для индивидуальных функций выбора Сi(Х), имеем, что вариант, выбранный из пары {x, у}, должен выбираться и при одиночном предъявлении. Существуют четыре функции выбора на двух вариантах, не удовлетворяющих свойству К (с точностью до переименования вариантов):

С({х, у}) = {х, у}, С({х}) = {х}, С({у})={∅}; (7.1)
С({х, у}) = {у},  С({х}) = {х}, С({у})={∅}; (7.2)
С({х, у}) = {х},  С({х}) = {∅}, С({у})={∅}; (7.3)
С({х, у}) = {х, у}, С({х}) = {∅}, С({у})={∅}; (7.4)

Условие замкнутости свойства К может нарушиться только ft случае, когда индивидуальные функции выбора удовлетворяют свойству К, а коллективная функция выбора является одной из четырех функций выбора (7.1), (7.2), (7.3) или (7.4).

Покажем на примере одной из этих функций выбора (пусть это будет функция (7.2)), что если коллективная функция выбора имеет вид (7.2), то хотя

бы одна индивидуальная функция выбора не удовлетворяет свойству К. Действительно, из того, что С*({х, у})={у} согласно правилу экстремизации следует, что f(y)>f(x), т. е. существует хотя бы один избиратель И,, выбирающий

из лары {х, у} вариант у, но не выбирающий х, т. е. Ci({x, у}) ={у}. В силу того, что  функция  выбора  избирателя  Ci(X)  по  предположению  удовлетворяет свойству К, имеем Ci({y}) = {y}. Уже в силу этого невозможно выполнение

С*({у}) = {∅}, Возникшее противоречие доказывает, что свойство К замкнуто

относительно экстре-мизационной процедуры. По поводу функций выбора (7.1),

(7.3) и (7.4) можно провести такие же рассуждения

Аналогичные  рассуждения  приводят  к  выводу,  что  свойства  Н  и  О

замкнуты относительно экстремизационной процедуры.

Пример,  изображенный  на  рис.  7.3,  показывает,  что  свойство  М  не замкнуто относительно экстремизационной процедуры. В первых трех столбцах приведен профиль трех избирателей С1(Х), С2(Х), С3(Х) на всех возможных предъявлениях {х, у}, {х} и {у}. В четвертом столбце приведена коллективная функция выбора С*(Х) на тех же предъявлениях, построенная с помощью экстремизационной процедуры по функциям выбора избирателей, В этом примере индивидуальные функции выбора удов174

летворяют свойству М, а коллективная функция выбора нарушает это свойство,

так как С*({х})= {х}, но х ∉ С*({х, у}).

Итак,  свойства Н,  О,  К и С замкнуты  относительно экстремизационной процедуры по шкале «число голосов», а для свойства М замкнутости нет, совершенно так же, как это имело место в случае простейшего множественного выбора.

Правило  надпорогового  выбора.  Шкала  «число  голосов».  Перейдем  к

исследованию правила надпорогового выбора по шкале «число голосов» на выполнение условий замкнутости. В силу того что любая функция выбора при |А| ≤

2 удовлетворяет свойству С, это свойство замкнуто относительно процедуры

надпорогового выбора.

Предположим, что все индивидуальные функции выбора избирателей d(X)

удовлетворяют свойству К. Для того чтобы некоторая функция выбора С(Х), заданная на |А| =2, нарушала свойство К, она должна обладать следующей особенностью: если вариант принадлежит выбору при предъявлении пары вариантов, то он не должен выбираться и в случае, когда он предъявляется один. Рассмотрение каждой из четырех коллективных функций выбора С* (X), не удовлетворяющих свойству К ((7.1) —(7.4)), показывает, что не существует набора  индивидуальных  функций  выбора  Сi(X),  каждая  из  которых удовлетворяет свойству К, который при применении к ному агрегирующего правила надпорогового выбора генерирует данную коллективную функцию выбора. Так доказывается, что свойство К замкнуто относительно процедуры надпорогового выбора.

При помощи аналогичных рассуждений доказывается, что свойства Н и S замкнуты относительно этой процедуры.

Пример,  изображенный  на  рис.  7.4,  показывает,  что  свойство  О  не замкнуто относительно исследуемой процедуры. Здесь все индивидуальные функции выбора С1(Х), С2(Х) и С3(Х) удовлетворяют свойству О, а коллективная функция С*(Х), построенная по этому профилю избирателей при пороге к = 1,

нарушает  свойство  О,  так  как  С*({х,  у})  =  {х},  но  С*({х})={∅}  (т.  е.  при

отбрасывании невыбранного варианта выбор изменился).

Пример, изображенный ранее на рис. 7.3, иллюстрирует нарушение замкнутости свойства М относительно процедуры надпорогового выбора.

Итак, свойства С, К и Н замкнуты относительно процедуры надпорогового выбора по шкале «число голосов», а свойства М и О — незамкнуты.

В таблицу 7.1 сведены полученные здесь результаты анализа процедур голосования типа ВВ при |А| ≤ 2 в трех случаях: одиночный выбор, простейший

множественный и множественный выбор общего вида. Из таблицы 7.1 видно, что все характеристические условия и условия замкнутости выполняются для обеих  процедур  (правило  экстремизации  и  правило  надпорогового  выбора) только в случае одиночного выбора (случай 1) и в случае простейшего множественного выбора (случай 2) для правила надпорогового выбора. В остальных  случаях  даже  при  |А|  ≤  2  возникают  нарушения  некоторых

характеристических условий и условий замкнутости.

На практике часто возникают ситуации, когда число вариантов, из которых может быть сформирован избирательный бюллетень, оказывается большим двух.

Некоторым соображениям об анализе процедур голосования в случае, когда множество А содержит три и более варианта, посвящен следующий параграф.

Таблица  7.1.  Процедуры типа ВВ: бюллетени содержат два  варианта

Инструкция

избирателю

Агрегиру

ющее правило

Характеристические условия Условия

замкнутости свойств

Условия нейтральности к избирателям Условие нейтральности к вариантам Условие ненавязанности

(суверенности)

Условие монотонности Принцип Парето Локально

сть

S К H M C O
1. Одиночный

выбор

Экстреми

зационное

+ + + + + Поточечн

ая

+ + + + + +
2.

Простейший множественный выбор

Экстреми

зационное

+ + + + Множеств

енная

+ + + +
Надпорог

овый выбор

+ + + + + Поточечн

ая

+ + + + + +
3. Общий

случай множественного выбора

Экстреми

зационное

+ + + + Множеств

енная

+ + + +
Надпорог

овый выбор

+ + + + + Поточечн

ая

+ + + + +

Материал взят из книги Голосование в малых группах: процедуры и методы сравнительного анализа (Вольский В.  И.,  Лезина  З. М.)